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論理演算

学習のポイント

コンピュータが取扱うデータには，多様な型（タイプ）がありますが，そのうち代表的な型を示します。

　データの型
　　├　論理型　　　１ビットで１／０（真／偽，ＯＮ／ＯＦＦ）を表す。
　　├　文字列型　　英数字，ひらがな，カタカナ，漢字など。
　　│　　　　　　　ＡＳＣＩＩ，シフトＪＩＳ，Ｕｎｉｃｏｄｅなど多様な体系がある。
　　└　数値型　　　１２３とか−４５６．７などの数値。
　　　　　├　固定小数点型　　上の例のように小数点位置が固定のもの。
　　　　　│　　├　２進化１０進数型
　　　　　│　　└　２進固定小数点型
　　　　　└　浮動小数点型　　０.３１４１６×１０５のように指数で表現するもの。

ここでは，論理型の表現，それの組合せである論理演算について理解します。

キーワード

否定（ＮＯＴ），論理積（ＡＮＤ），論理和（ＯＲ），排他的論理和（ＸＯＲ），ベン図，真理値表，ド・モルガンの法則

論理演算

Ａ＋Ｂのベン図と真理値表

内部表現での最小単位はビットです。その１ビットで１／０（「真／偽」や「ＯＮ／ＯＦＦ」ともいう）を表現します。

論理数間の演算を論理演算といいます。論理演算はハードウェアでのデジタル回路等の基本でもありますし，ソフトウェア開発でのロジックを考えるときの基本でもあります。
　論理演算を図にしたものにベン図があります。図のＡの円内はＡが１（真）であることを示し，Ａの円外はＡが０（偽）であることを示しています。そして，Ａ＋Ｂという演算をしたときに，その結果が１（真）である部分を灰色，０（偽）である部分を白色にして表示しています。また，この関係を表にしたものに真理値表があります。論理数ＡとＢにつきそれぞれに１と０を与えたときの論理和Ａ＋Ｂの値を示しています。

基本的な論理演算

基本的な論理演算には，否定（ＮＯＴ），論理積（ＡＮＤ），論理和（ＯＲ），排他的論理和（ＸＯＲ）があります。それらのベン図と真理値表を示します。

基本的な論理演算

次の事項に注意しましょう。
　・論理数Ａの否定はＡで表します。
　・論理和でＡ＝１，Ｂ＝１のとき，Ａ＋Ｂも論理数なので２ではありません。

練習問題７：下のベン図→真理値表？
排他的論理和の否定

論理演算の法則

法則の説明図

次の関係は自明あるいはベン図や真理値表で簡単に理解できましょう。なお，＋と・の順序や（　）内の順序は，通常の数学での順序と同じです。
　　同一法則：　Ａ＋Ａ＝Ａ，　Ａ・Ａ＝Ａ
　　恒等法則：　Ａ・０＝０，　Ａ＋０＝Ａ，　Ａ・１＝Ａ，　Ａ＋１＝１
　　補元法則：　Ａ・Ａ＝０，Ａ＋Ａ＝１
　　交換法則：　Ａ・Ｂ＝Ｂ・Ａ，　Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
　　結合法則：　Ａ・（Ｂ・Ｃ）＝（Ａ・Ｂ）・Ｃ　［ア］，　Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ　［イ］
　　分配法則：　Ａ・（Ｂ＋Ｃ）＝Ａ・Ｂ＋Ａ・Ｃ　［ウ］，　Ａ＋Ｂ・Ｃ＝（Ａ＋Ｂ）・（Ａ＋Ｃ）
　　吸収法則：　Ａ＋Ａ・Ｂ＝Ａ
　　ド・モルガンの法則：　Ａ＋Ｂ＝Ａ・Ｂ　［エ］，　Ａ・Ｂ＝Ａ＋Ｂ　［オ］

理解度チェック

第１問

次の問に答えなさい。

  1. 次の真理値表があるとき，そのベン図を描きなさい。これを否定和（ＮＯＲ）といいます。☆
    　　Ａ＝０，Ｂ＝０　→　１
    　　Ａ＝０，Ｂ＝１　→　０
    　　Ａ＝１，Ｂ＝０　→　０
    　　Ａ＝１，Ｂ＝１　→　０
  2. 下のベン図の真理値表を作りなさい。これを否定論理積（ＮＡＮＤ）といいます。☆
    否定論理積（ＮＡＮＤ）

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