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集合の用語と記号

キーワード

集合、補集合、和集合、積集合、直積

集合を構成する要素のことを元といいます。
集合Ａが１，２，３を元とする集合であることを Ｘ＝｛１，２，３｝と表記します。このように具体的に列挙する定義を外延的定義といいます。
それに対して、内包的定義では、｛ａ｜ａ∈自然数 ∧ １≦ａ≦３｝と表記します。これは「ａとは、自然数であり、かつ、１≦ａ≦３である」という意味になります。
元が無限大の場合、例えばＸはすべての自然数であるような場合は Ｘ∈自然数 と表記します。
このときの「自然数」に相当する「対象とする全体」を普遍集合といいＵで表します。空間ということもあります。
元をもたない集合を空集合といい、φで表します。

記号	名称・内包的定義・意味	例示
ａ∈Ａ	所属関係ａはＳの元である
Ａ⊂Ｂ	包含関係、真部分集合Ｔの全元はＳに含まれる	Ａ＝｛２，４｝、Ｂ＝｛１，２，３，４，５｝のときＡ⊂Ｂが成立する
Ａ＝Ｂ	恒等関係ＡとＢは同じ元からなる	Ａ＝｛２，４｝、Ｂ＝｛２，４｝のとき、Ａ＝Ｂが成立する
Ａ^Ｃ	補集合　Ｕ－ＡＡに所属しない元	Ｕ＝｛１，２，３，４｝、Ａ＝｛２，４｝のときＡ^Ｃ＝｛１，３｝
Ａ∪Ｂ	和集合　｛ｘ｜ｘ∈Ａ ∨ ｘ∈Ｂ｝少なくとも一方に所属する元	Ａ＝｛１，２，３｝、Ｂ＝｛２，３，４｝のときＡ∪Ｂ＝｛１，２，３，４｝
Ａ∩Ｂ	積集合　｛ｘ｜ｘ∈Ａ ∧ ｘ∈Ｂ｝ＡとＢの両方に所属する元	Ａ＝｛１，２，３｝、Ｂ＝｛２，３，４｝のときＡ∩Ｂ＝｛２，３｝
Ａ－Ｂ	差集合　｛ｘ｜ｘ∈Ａ ∧ ￢ｘ∈Ｂ} Ａに所属しＢに所属しない元	Ａ＝｛１，２，３，４｝、Ｂ＝｛１，３，５｝のときＡ－Ｂ＝｛２，４｝、Ｂ－Ａ＝｛５｝
Ａ×Ｂ	直積　{(a,b)\| a∈Ａ ∧ b∈Ｂ} Ａの元とＢの元の組み合わせ	Ａ＝｛１，２，３｝、Ｂ＝｛p，q｝のときＡ－Ｂ＝｛(1,p)，(2,p)，(3,p)，(1,q)，(2,q)，(3,q)｝

Ａ⊂ＢとＡ＝Ｂを合わせて、Ａ⊆Ｂと書きます。
積集合と直積（カルテシアン積ともいう）は異なります。論理積の×の記号は、集合計算での∩に似た概念です。
差集合のとき、引く側だけにある元は無視されます。

集合での計算

ほとんど論理計算と同じですが、異なる点もあります。

交換則: Ａ∪Ｂ⇔Ｂ∪Ａ、　Ａ∩Ｂ⇔Ｂ∩Ａ
結合則: （Ａ∪Ｂ）∪Ｃ⇔Ａ∪（Ｂ∪Ｃ）、　（Ａ∩Ｂ）∩Ｃ⇔Ａ∩（Ｂ∩Ｃ）
分配則: Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）⇔（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）、　Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）⇔（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
吸収則: Ａ∪（Ａ∩Ｂ）⇔Ａ、　Ａ∩（Ａ∪Ｂ）⇔Ａ
ド・モルガンの法則: （Ａ∪Ｂ）^Ｃ⇔Ａ^Ｃ∩Ｂ^Ｃ、　（Ａ∩Ｂ）^Ｃ⇔Ａ^Ｃ∪Ｂ^Ｃ
空集合φを含む公式: Ａ∪φ＝Ａ、　Ａ∩φ＝φ、　Ａ－φ＝Ａ、　Ａ×φ＝φ、　Ａ⊃φ
φ－Ａ＝φ
普遍集合Ｕを含む公式: ∪と紛らわしいので、「全」と表記します。
Ａ∪全＝全、　Ａ∩全＝Ａ、　全－Ａ＝Ａ^Ｃ、　全⊃Ａ、　Ａ∪Ａ^Ｃ＝全
Ａ－全＝Ａ