線形計画法の効果

簡単なモデル

原料Ａと原料Ｂ（原油？）を，装置Ｐと装置Ｑを通して，製品Ｘ（ガソリン？）と製品Ｙ（重油？）を生産している企業を考えます。目的関数は，利益＝製品価格－原料価格－装置費用を最大にします。原料は，装置Ｐにより製品Ｘと製品Ｙに分離されますが，その得率が異なります。製品Ｙは装置Ｑを通すことにより製品Ｘにすることができます。原料や製品の価格，設備を通す費用，装置Ｐでの得率などは，下図に示してあります。

これを線形計画法のモデルにするには，入力側と出力側のバランスを正確に記述することが必要です。次の関係があることがわかります。
　　　原料と装置の関係から：　Ａ＋Ｂ≦Ｐ
　　　中間製品と製品Ｘから：　０.６Ａ＋０.３Ｂ＋Ｑ≧Ｘ
　　　中間製品と製品Ｙから：　０.４Ａ＋０.７Ｂ－Ｑ≧Ｙ
本来は不等号ではなく等号にするべきでしょうが，利益が最大になるときは，結果として等号になるのは当然です。線形計画法では制約条件を等号にするよりも不等号にしておいたほうが都合がよい（理由は省略）ので，このようにしました。また，原料，製品，設備能力に下限と上限を与えました。
　なお，目的関数は次のようになります。
　　　利益＝１０Ｘ＋６Ｘ－６Ａ－５Ｂ－１Ｐ－３Ｑ　→最大

これをＥｘｃｅｌのソルバーで解くには，下図のように設定します。

線形計画法はバランス計算を容易にする

Ｘ≦１５０，Ｐ≦２００，Ｑ≦６０の場合（これを「標準ケース」ということにします）について，線形計画法を知らないとして，ある程度の論理と直感により最適解を求めてください。

仮定１：Ｘは最大になる

高いほうの原料Ａの価格は６円でＰで１円かかって７円です。Ｘは１０円ですから，おしらくＸは最大値１５０になると考えられます。

仮定２：Ｑは最大になる

ＸとＹの価格差は４円ですから，Ｙを作るよりもＱを通してＸにするほうが有利でしょう。

でも仮定１は間違いないとして，仮定２も成立するのでしょうか？　装置Ｐから出てくる量が６０より少ないことはないでしょうか？　装置Ｐが最大になることが証明できるでしょうか？　などの不安が残ります。
　実は，これらの仮定は正しく，線形計画法による最適解は下図のようになります。赤い数値が最適解であり，緑色の（　）はレジュースト・コストを示します。

このように非常に単純なモデルでも案外大変なことがわかります。まして実際の石油精製モデルでは制約条件や製品の個数は数千個にもなります。とうていモデルを眺めて解けるものではありません。コンピュータを利用するにしても，線形計画法を知らなければ，どのうに計算させればよいかもわかりません。

単純な原価計算は危険

Ａを１使うことにより，Ｘが０.６，Ｙが０.４できるのですから，それによる収入増加は０.６×１０＋０.４×６＝８.４円になり，Ａの価格は６円，Ｐの費用は１円ですから費用増加は７円ですので，利益増加は８.４－７＝１.４円になります。同様にＢを１使うことにより，（０.３×１０＋０.７×６）－（５＋１）＝１.２の利益増加になります。Ａのほうが０.２円有利ですからＡ＝２００としたくなります。これが会計などで行われる原価計算ですね。
　あるいは，Ｙの６円ではなく，Ｑを通すことによりＸになるのだから１０－３＝７円を適用したらどうかという案もありましょう。それによればＡは１.８円，Ｂは１.９円になり，こんどはＢ＝２００としがちです。これらのどちらも正しくないのです。

Ｘの原価計算はどうでしょうか。単純にＡが１００％Ｘになるとすれば，ＡとＰから原価は７円だといえます。Ｂも使うのであればそれよりも安くなります。また，Ｙを原料とするのだと考えればＱの費用を加えて９円になります。どちらを採用するかで迷いますが，いずれにせよＸの上限制約を１だけ緩めれば利益は１円以上増加すると考えられます。これが通常の会計的な限界利益の考え方ですね。ところがＸのレジュースト・コストは０.６７で，０.６７円しか利益増加にならないといっているのです。もし，Ｘの価格が９.２円だったら増産するのでしょうか減産するのでしょうか？

実際にＸ≦１５０をＸ≦１５１に修正して線形計画法で解いた結果は下図のような変化になりました。赤色の数値は数量の増減，青色の数値は金額の増減です。

これからもわかるように，Ｘの変化は原料構成の変化にまで影響するのです。いいかえればレジュースト・コストとは，
　　　レジュースト・コスト＝（修正後での最適解）－（修正前の最適解）
を示しています。それに対して通常の会計的な原価計算では，
　・部分的な範囲だけで判断しており，全体を考えていない
　・状況の変化により最適な手段が変化することを考慮していない
という欠点のために，誤った結果になる危険が多いのです。

余裕の有無が大きな影響を与える

極端なケースとして，Ｘの上限を取り払ってみましょう。装置ＰとＱの制約はそのままとします。その結果を示します。

このときはＸの得率が大きいＡが有利になります。Ｂのレジュースト・コストは－０.２であり，会計的原価計算で行った「Ｙの評価を６円としたとき，ＡのほうがＢよりも０.２円有利」という結果と一致します。ここでＹの評価として６円を用いたのは，Ｑが上限に達しているので，これ以上生産してもＹの価格でしか売れないからです。もしＱに余裕があるならば，すべてがＱを通してＸとして売れるので７円を用いるので，Ｂのほうが有利となります。

Ｑのレジュースト・コストが１円なのは，Ｙを原料としてＸを作るのですから，これも会計的原価計算と一致します。ところが，Ｐのレジュースト・コストは１から１.４へと増大しています。これは標準ケースではＸがこれ以上売れないので，Ｐの能力を上げてもＹしか増産できなかったのが，このケースではＸが増産できるようになったからです。

こんどは，Ｘ≦１５０として，Ｐの上限を取り払ってみましょう。その結果は次のようになります。

いままで最大になっていたＱが０になってしまいました。いままでのＱの価値は（おおざっぱには）ＸとＹの価格差でした。ところが，このケースではＰに余裕ができたので，Ｘを生産するための原料が豊富にあるために，Ｘと原料の価格差がＱの価値になったのです。しかも原料の価格は原料構成の変化での価格差ですからかなり安くなります。それでＱが競争に負けてしまったのです。

このように制約条件が厳しいか余裕があるかによって，製品，原料，装置などの価値が大きく変化します。その認識をしないで計画を作り実施したのでは，大きな見えないロスを生じてしまいます。その結果は，これをよく認識している他社との競争に負けてしまうことになるのです！