右図のように、ｎ＋１個の点（黒点）(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),・・・,(xn,yn)が与えられているとき、その点を通るなめらかな曲線をひき、x0～xnの間の値ｘにおける点（赤点）のｙの値を求めることを補間といいます。
ｎ＋１個の点を通る曲線は多様ですが、最も単純なのはｎ次式、
ｙ＝a0＋a1x＋a2x2＋・・・＋anxn
です。
そして、ｎ＋１個の点をｎ次式で補間するポピュラーな方法にラグランジュの補間多項式があります。
１次式での補間
最も単純なのは、２点(x0,y0),(x1,y1)が与えられ、１次式により、x0～x1の間ｘに対するｙを求める場合です。
２点(x0,y0),(x1,y1)を通る直線は、
y1－y0
ｙ＝────（x－x0)＋y0
x1－x0
です。これを変形すると、次の式が得られます。
x－x1 x－x0
ｙ＝───×y0＋───×y1
x0－x1 x1－x0
例えば、２点を(１,３)と(４,７)とし、ｘ＝３とすると、
x－x1 ３－４ １ x－x0 ３－１ １４
───×y0＝───×１＝─、 ───×y1＝───×７＝──
x1－x0 １－４ ３ x1－x0 ４－１ ３
ですから、求めるｙは
１ １４
ｙ＝─＋──＝５
３ ３
になります。
ラグランジュの補間多項式
これをｎ次式に一般化して、
ｙ＝Ｌ0y0＋Ｌ1y1＋Ｌ2y2＋・・・＋Ｌnyn
としたときの、Ｌkは、次の式になります。
例えば２点、１次式のときはｎ＝１ですから、上の式でx2以上のものがある項は不要です。
ここで仮に、上の「ｋの項がない」ことを無視して書くと次のようになります。
(x－x0)(x－x1)
Ｌ＝────────
(xk－x0)(xk－x1)
Ｌ0（ｋ＝０）では、このＬ式のｋを０と書き変えれば、
(x－x0)(x－x1) (x－x0)
Ｌ0＝──────── となりますが、ｋ項、すなわち、──── を除くので、
(x0－x0)(x0－x1) (x0－x0)
正しいＬ0は
x－x1
Ｌ0＝────
x0－x1
になります。
同様に、Ｌ1は、次のようになります。
(x－x0)(x－x1) x－x0
Ｌ1＝────────＝────
(x1－x0)(x1－x1) x1－x0
すなわち、ｙの値は次式で求められます。
x－x1 x－x0
ｙ＝───×y0＋───×y1
x0－x1 x1－x0
これは、前述の「１次式での補間」で示した結果と一致します。
数値例
●問題
３点 (2,1),(3,0),(5,4) が与えられたとき、２次のラグランジュの補間多項式を用いて、x=4 のときのｙを求めよ。
●解答
(x－x0) (x－x1) (x－x2) (x－x1) (x－x2) (4-3)×(4-5) -１
Ｌ0＝────────────＝────────＝──────＝──
(x0－x0)(x0－x1)(x0－x2) (x0－x1)(x0－x2) (2-3)×(2-5) ３
(x－x0) (x－x1) (x－x2) (x－x0) (x－x2) (4-2)×(4-5)
Ｌ1＝────────────＝────────＝──────＝１
(x1－x0)(x1－x1)(x1－x2) (x1－x0)(x1－x2) (3-2)×(3-5)
(x－x0) (x－x1) (x－x2) (x－x0) (x－x1) (4-2)×(4-3) １
Ｌ2＝────────────＝────────＝──────＝──
(x2－x0)(x2－x1)(x2－x2) (x2－x0)(x2－x1) (5-2)×(5-3) ３
１ １
ｙ＝－─×１＋１×０＋─×４＝１
３ ３
実務的な考慮
ｎ＋１個の点をｎ次式で補間するのは、ｎが大きくなると、
・計算量が増大するだけでなく、
・右図（赤線、点Ａ）のように、実務的ではない補間値になる
欠点があります。
それで、あえて全体を一つの式で表すのではなく、補間すべき周辺の数点だけを用いて、低次元の式（青線）で補間を行う（Ｂ点）ことがよく行われます。
その際、ｘの近傍の点の小さい側と大きい側が同じ（１次式や３次式を用いる）ならば、問題はないのですが、２次式を用いるときは、小さいほうが１点で大きいほうが２点の場合（ａ）と、小さいほうが２点で大きいほうが１点の場合（ｂ）の２つの曲線が候補になります。
このような場合には、ａとｂの両方で計算して、重みづけをして平均をとるなどの方法も用いられます。