待ち行列の基本形（Ｍ／Ｍ／１）

公式を求めるプロセス

客が単位時間に到着する平均値（平均到着率）をλ（ラムダと読む）［人／時］，１つの窓口が単位時間にサービスを完了する人数の平均値（平均サービス率）をμ（ミューと読む）［人／時］とします。

系の中にｎ人がいる確率

サービスを受けている人とサービスを待っている人の全体（これを「系の中」という）の人数がｎ人である確率をＰ_nとします。

系の状態が安定しているということは，ある時刻ｔでのＰ_nと，ｔ＋⊿ｔでのＰ_nが等しいということですから，
　　　　ｔでｎ－１人だったのが，ｔ＋⊿ｔでｎ人になる　　　λ⊿ｔＰ_n-1
　　＋　ｔでｎ－１人だったのが，ｔ＋⊿ｔでｎ人になる　　　μ⊿ｔＰ_n+1
　　＝　ｔでｎ人だったのが，ｔ＋⊿ｔでｎ＋１人になる　　　λ⊿ｔＰ_n
　　　　ｔでｎ人だったのが，ｔ＋⊿ｔでｎ－１人になる　　　μ⊿ｔＰ_n
が成立する必要があります。すなわち，λＰ_n-1＋μＰ_n+1＝（λ＋μ）Ｐ_n　が成立します。
　しかし，上の式はｎ＝０のときには，Ｐ_n-1がＰ_－１になってしまいます。Ｐ₀とＰ₁の間では，⊿ｔの間に，
　　　　ｔで０人だったのが，ｔ＋⊿ｔで１人になる　　　λ⊿ｔＰ₀
　　＝　ｔで１人だったのが，ｔ＋⊿ｔで０人になる　　　μ⊿ｔＰ₁
すなわち，　λＰ₀＝μＰ₁　となります。

この状態方程式，
　　　λＰ_n-1＋μＰ_n+1＝（λ＋μ）Ｐ_n
　　　λＰ₀＝μＰ₁
を，ρ＝λ／μとおいて解くと，
　　　Ｐ_n＝ρ^ｎＰ₀
となります。
　ところで，　Ｐ₀＋Ｐ₁＋Ｐ₂＋・・・＋Ｐ_n＋・・・＝１ ですから，
　　　（１＋ρ＋ρ^２＋・・・＋ρ^ｎ＋・・・）Ｐ₀＝１
となり，
　　　系の中の人数が０人である確率　　Ｐ₀＝１－ρ
　　　系の中の人数がｎ人である確率　　Ｐ_n＝ρⁿ(１－ρ)
が得られます。 （その証明）

人数と時間の平均値

系の中にいる人数（サービス中の人数も含む）の平均値Ｌは，
　　　Ｌ＝１Ｐ₁＋２Ｐ₂＋・・・＋ｎＰ_n＋・・・
　　　　＝（１ρ＋２ρ²＋・・・＋ｎρⁿ＋・・・）（１－ρ）
　　　　＝ρ／(１－ρ)
となります。 （その証明）

到着してからサービスを受けるまで待っている（サービス中の人は含まない）の平均値Ｌ_qは，
　　　Ｌ_q＝１Ｐ₂＋２Ｐ₃＋・・・＋(ｎ－１)Ｐ_n＋・・・
　　　　＝（１ρ²＋２ρ³＋・・・＋(ｎ－１)ρⁿ＋・・・）（１－ρ）
　　　　＝Ｌρ＝ρ^２／(１－ρ)
となります。

到着してからサービスを受けるまでの平均待ち時間Ｗ_qは，待っている人数Ｌ_qにより生じたのですし，平均到着間隔は１／λですから，全体ではＬ_q／λの時間がかかったことになります。すなわち，
　　　Ｗ_q＝Ｌ_q／λ
となります。
　　　 　系の中にいる全時間Ｗは，待っている時間とサービス時間の合計なので，
　　　Ｗ＝Ｗ_q＋１／μ＝（Ｌ－λ／μ）／λ＋１／μ
　　　　＝Ｌ／λ
になります（Ｌ／μではないことに注意！）。

公式のまとめ（これは覚えてください）

　　客の平均到着率：　　　　λ［人/時］　⇔　平均到着間隔：　　１／λ［時/人］
　　窓口の平均サービス率：　μ［人/時］　⇔　平均サービス時間：１／μ［時/人］
　　　　ρ＝λ／μ　窓口の稼働率，客が到着したとき待ちが生じる確率

　　系の中に人がいない確率：　Ｐ0＝１－ρ　（待たないでよい確率）
　　系の中にｎ人がいる確率：　Ｐn＝ρnＰ0＝ρn／(１－ρ)
　　
　　サービスを待っている人の平均人数：Ｌq＝ρ2／(１－ρ)
　　サービス中も含む系内の平均人数：　Ｌ＝Ｌq＋λ／μ＝ρ／(１－ρ)

　　到着してからサービスを受けるまでの平均待ち時間：　Ｗq＝Ｌq／λ＝λ／μ(μ－λ)
　　到着してからサービスを受けて去るまでの平均時間：　Ｗ＝Ｗq＋１／μ＝１／(μ－λ)
　　　（上の赤い部分がリトルの公式です。）

なお，上式を変形すると，
　　　Ｌ ＝ρ／(１－ρ) 　　Ｗ ＝Ｌ／λ
　　　Ｌq＝Ｌρ　　　　　　 Ｗq＝Ｗρ
となります。ＬqやＷqは，ＬρやＷρに似ていますね！？

Ｌ，Ｌ_qのグラフ

下図は，ρとＬ，Ｌ_qの関係をグラフにしたものです。
　これから，ＬやＬ_qはρが１に近づくにつれて急激に増大することがわかります。客の到着間隔が１０分，サービス時間が９分であるとき，これらが一定であれば待ちは生じないのに，それらがランダムなために，サービスを待っている人数が８人，サービスを受けている人も入れると９人になるのです。このようなことは直感とかなり異なりますね。このようなことを計画時に知っていないと，実施時に大きなトラブルになります。

有名な例を紹介しましょう（大前義次，森村英典『待ち行列の理論と実際』日科技連，1962. p.46より）。第２次世界大戦中，アメリカからイギリスへの護送船団は，ニューヨーク港から８０％，バルチモア港から２０％から出港していた。米海軍は，それを不経済だと考え，すべてニューヨーク港から出港することにした。ところが，出港のための所要時間が従来の２倍になってしまった。米海軍は，敵国工作員によるサボタージュが行われたのではないかと調査をしたが，そのような事実はなく理由不明であり，ＯＲグループに原因解明を依頼した。その結果は・・・
　おわかりですね。ニューヨーク港での到着率の２０％の増加が，Ｗを急激に増大させていたのです。