ベイズの定理

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ベイズの定理

公式

数値例

ベイズの定理を理解するため、その証明もかねて、数値例を掲げます。

●問題

下表の構成であるグループから、１人を取り出したら女性であったとき、この人が成年である確率を求めよ。
　　　　　　　グループ構成（人）　　　　　対総数比率（確率）
　　　　　　成人　未成年　　合計　　　　成人　　未成年　合計
　　男性　　３０　　１０　　４０　　　　30/110　10/110　40/110
　　女性　　２０　　５０　　７０　　　　20/110　50/110　70/110
　　合計　　５０　　６０　１１０　　　　50/110　60/110　１

●解答

難しい計算をするまでもなく、女性７０人のうち、成人は２０人なのですから、求める確率は２０／７０であることがわかります。

上の表の確率を用いて計算します。

女性であることがわからないとき、女性の成人である確率は、上表での（女性、成人）の確率 20/110 です。
女性である確率は、（女性、合計）の確率 70/110 です。
「女性であることがわかった」とは、 70/110 が１になったということです。
それで、求める確率は、(20/110)／(70/110)＝２０／７０となります。

公式での計算
　女性であることがわかってから成人であるかどうかを求めるので、
　　事象Ａ：１人を取り出したとき女性である事象。その確率：Ｐ(Ａ)＝７０／１１０
　　事象Ｂ：１人を取り出したとき成人である事象。その確率：Ｐ(Ｂ)＝５０／１１０
となります。これらは、「女性である」ことを知らない事前に計算できるので、事前確率です。
　そして、問題は、事後にわかった事実「女性である」ことから、事後確率
　　Ｐ(Ｂ|Ａ)：女性だとわかった後での、成人である確率
を求めることになります。

「20/110」は、どのようにして求められるでしょうか。
　　「成人である確率」＝「成人であることを知ってから、女性である確率」×「女性である確率」
ですから、式で表現すれば、
　　Ｐ(Ａ|Ｂ) Ｐ(Ｂ)
となります。そして、
　　Ｐ(Ａ|Ｂ) ＝「女性の成人」／「成人全体」＝２０／５０
ですから、
　　Ｐ(Ａ|Ｂ)×Ｐ(Ｂ) ＝ (２０／５０)×(５０／１１０)＝２０／１１０
となります。
　そして、Ｐ(Ａ)＝７０／１１０なのですから、（１）式から、
　　Ｐ(Ｂ|Ａ) ＝(２０／１１０)／(７０／１１０)＝２０／７０
が得られます。

（２）式の分母の説明をします。
（１）式との関係から、　　Ｐ(Ａ)＝Ｐ(Ｂ) Ｐ(Ａ|Ｂ) ＋Ｐ(Ｂ) Ｐ(Ａ)|Ｂ)
の右辺の意味を説明して、その値が７０／１１０になることを示せばよいことになります。
　Ｂとは、「Ｂではない」すなわち「未成年である」ことです。
　上の表で、（女性、成人）の確率 20/110 がＰ(Ｂ)×Ｐ(Ａ|Ｂ) であることは先に説明しました。
　それと同様に（女性、未成年）の確率 50/110 は、Ｐ(Ｂ) Ｐ(Ａ)|Ｂ)になります。
　これにより、上の式の右辺は、(20/110)＋(50/110)＝７０／１１０になります。

実際の計算では、公式を用いるよりも上の表を作成するほうが、わかりやすいし簡単です。

例題

先の数値例では、この公式の効果が示せませんでしたので、どのように利用できるかを例題で示します。

●問題

本社から工場まで車で行くのに、一般道路では８０分かかる。高速道路を利用すると、混雑していなければ５０分、混雑していれば１００分かかる。交通情報が「順調」ならば高速道路を利用し、「渋滞」ならば一般道路を利用するとき、期待できる平均所要時間は約何分か。ここで、高速道路の混雑具合の確率は、混雑している状態が０.４、混雑していない状態が０.６とし、高速道路の真の状態に対する交通情報の発表の確率は表のとおりとする。
　　　　　　　　　　　　高速道路の真の状態
　　　　　　　　　　混雑している　混雑していない
　　　　交通　渋滞　　　０.９　　　　　０.２
　　　　情報　順調　　　０.１　　　　　０.８
ア　６２　　イ　６６　　ウ　６８　　エ　７２

（上級システムアドミニストレータ試験、平成２０年度、問４８）

●解答

交通情報が「渋滞」であったとき、真に「混雑」している確率はいくらか（およびその逆）を求めることがポイントになります。
　「混雑」している事象が事象Ａ、「渋滞」と発表する事象が事象Ｂであり、交通情報を知る前での「混雑」確率と交通情報の正確性の確率が事前確率、「渋滞」と知ってからの「混雑」の確率が事後確率になります。
　数値例の「表による計算」に準じた方法で解きます。

　　　　　　混雑している　　　　　　　混雑していない　　　　合計
渋滞　　０.４×０.９＝０.３６　　０.６×０.２＝０.１２　　０.４８←「渋滞」と発表される確率
順調　　０.４×０.１＝０.０４　　０.６×０.８＝０.４８　　０.５２←「順調」と発表される確率
　　　　　　　　　　─── 　　　　　　　　─── 　　───
合計　　　　　　　　　０.４０　　　　　　　　　０.６０　　１.００

「渋滞」と発表される確率
　　＝　真は混雑しており。渋滞と発表する確率　　　＝０.４×０.９＝０.３６
　　　＋真は混雑していないのに渋滞と発表される確率＝０.６×０.２＝０.１２
　　＝０.３６＋０.１２
　　＝０.４８
「順調」と発表される確率
　　＝０.４×０.１＋０.６×０.８
　　＝０.５２

「順調」と発表されているが、真は混雑している確率＝０.０４／０.５２＝０.０７７
「順調」と発表されており、真も混雑していない確率＝０.４８／０.５２＝０.９２３
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　─────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１.０００
　　　　（ここまでが、ベイズの定理に関する部分です）
「渋滞」のときの所要時間
　　一般道路利用→８０分
「順調」のときの所要時間
　　高速道路利用→１００×０.０７７＋５０×０.９２３＝５３.８分

期待値＝８０×０.４８＋５３.８５×０.５２＝６６.４分　→イ

ベイズ理論の特徴と応用

ベイズの理論は、事前確率と事後確率の考え方、主観確率と客観確率との組み合わせができることが特徴です。

「混雑」のような主観確率に、「交通情報」のような客観的な確率を加えて、より客観性の高い確率を求める方法だと解釈できます。
逆に、「混雑」は頻度主義的な客観確率であり、「交通情報」の信頼性が主観確率だということもできます。客観確率を主観確率を加えることにより、確率の精度を高める方法だと解釈できます。

そのため、多様な分野で応用されています。

ＩＴでの応用: 件名や本文に含まれる単語、発信者名や発信ドメイン名などにより、スパムメールかどうかを判断する機能があります。該当する単語（例えば「交際」など）を含むメールのうち、スパムメールである確率（事前確率）として与え、新しくきたメールに「交際」があったとき、それがスパムメールである確率（事後確率）を求めることができます。
同様な考え方を、カナ漢字変換や検索エンジンなどにも適用しています。
医療での応用: ある病気に感染しているかどうかを検査するとき、真には感染しているのに陰性となったり、感染していないのに陽性となる（偽陽性という）ことがあります。もし病気が稀なものならば、陽性の結果の多くが偽陽性ということもあります。その程度を把握するために利用されています。

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