平均、分散、標準偏差

データの特徴を表すには、データの大きさとバラツキの程度を示すのが一般的です。そのための概念を列挙します。
　例えば、１０、２０、３０、４０、５０の５個（ｎ＝５）のデータがあるものとします。単位はｍ（メートル）です。

	記号と計算式	計算値と[単位]	意味
平均		３０[ｍ]	データの大きさを示す尺度です。
偏差平方和		１０００[ｍ２]	（ｘｉ－ｘ）を偏差といいます。偏差の大きさを示すのに、偏差を単純に合計したのでは０になるし、絶対値での処理は面倒なので、偏差２の合計で示すのです（＊注１）
分散		２５０[ｍ２]	バラツキの尺度です。データ数が大ならば偏差平方和も大きくなるので、その平均をとることにより、データ数の影響をなくします。ところが、推計統計論では、個数（ｎ）ではなく、自由度（ｎ－１）を用います（その理由はここでの範囲を超えるので省略）。
標準偏差		√２５０ ＝１４.１[ｍ]	分散では単位がｍ２になっているので、√分散とすることで、元のデータと同じ単位にします。
変動係数		０.４７１[－]	標準偏差÷平均値とすることにより、データの単位や大きさの影響をなくすことができます。これで、一般的なバラツキの尺度とすることができます。

ｙ＝Ａｘ＋Ｂとしたとき

元のデータｘをｙ＝２ｘ＋６にしたとき、すなわち、２６、４６、６６、８６、１０６としたとき、上の諸元がどのように変わるかを考えます。

平均

合計は、２６＋４６＋６６＋８６＋１０６＝２（１０＋２０＋３０＋４０＋５０）＋６×５になります。一般的には、Ａｎｘ＋Ｂｎになります。それで平均はＡｎｘ＋Ｂｎになり、この場合は２×３０＋５＝６５になります。

偏差平方和、分散

偏差は、２６－６５＝－４０、３６－６５＝－２０、・・・、１０５－６５＝４０のように２倍になり、偏差平方和は、１６００＋４００＋・・・＋１６００＝４００００になります。すなわち偏差平方和は元のＡ^２倍になりＢには無関係です。分散もＡ^２倍になりＢには無関係です。

標準偏差

標準偏差は√分散なので、Ａ倍になります。

変動係数

標準偏差がＡｓになり、平均がＡｘ＋Ｂになるのですから、Ｂ＝０のときの変動係数は元のＣＶと同じ値になります。

データの個数がＭ倍になったとき

例えばＭが２で、１０、２０、３０、４０、５０、１０、２０、３０、４０、５０の１０個のデータの場合はどうなるかを考えます。

平均、偏差平方和

平均は変化せず、偏差平方和がＭ倍になることは明らかです。

分散、標準偏差、変動係数

データの個数はＭｎ個ですから、その自由度はＭｎ－１になります。それで、この分散はＭｓ^２／(Ｍｎ－１）になります。すなわち、Ｍ(ｎ－１)／(Ｍｎ－１) 倍になります。
ここで、ｎが十分に大きいと、この式は１に近づきます。すなわち、ｎが十分に大きいときは、分散は元と変わらないことになります。
標準偏差と変動係数もｎが十分に大きいときは、元と同じになります。

Ｌ組のデータを加えたとき

例えば、１日目の出荷が５回あり、それぞれ１０，２０，３０，４０，５０個でした。２日目の出荷も同じでした。そのとき２日間の平均や標準偏差はどうなるかというように、Ｌ組の合計を考えます。

平均

各日の平均をｘとすれば、Ｌ日間ではＬｘになります。

偏差平方和

ここで、偏差はすべてのデータＬｎ個の平均からの偏差ではなく、それそれの組のなかでの平均からの偏差です。それで、それで、全体の偏差平方和は各組の偏差平方和の合計となります。すなわち、Ｌ倍になります。分散の計算での自由度もｎ－１です。それで分散もＬ倍になります。

標準偏差

分散がＬ倍になるのですから、標準偏差は√Ｌ倍になります。これは重要な事項です。

変動係数

標準偏差が√Ｌ倍、平均がＬ倍になるので、変動係数は１／√Ｌ倍になります。

以上をまとめると、次表になります

注２：ｎが十分に大きいとき
注３：Ｂ＝０のとき