抜取検査とＯＣ曲線

抜取検査とは

抜取検査とは、母集団（それをロットといいます）から少数の標本ｎ個を抜き取って、不良品がいくつあるかを調べ、不良品の個数がｒ個以下ならば合格（ロットを受け入れる）、ｒ＋１個以上なら不合格（ロット全体を受け入れない）とする検査方式です。

ＯＣ曲線

ここで、ｐ＝ｒ／ｎ が設定したロットの不良率ｐ₀より小さければ合格、大きければ不合格とすればよいというのは軽率です。
そのようなを判定をするためには、左図の赤線のようになっている必要があります。しかし、それにはロット全体を調べる（全数検査を行う）必要があります。

ｎ個の標本のうちにｒ個の不良品がある確率は、二項分布になるので、その確率Ｐ(r)は、
　　　Ｐ(r)＝_nＣ_rｐ^r(１－ｐ)^n-r
になり、不良品がｒ個以下である累積確率Ｐ(≦ｒ)は、
　　　Ｐ(≦ｒ)＝∑Ｐ(r)＝Ｐ(0)＋Ｐ(1)＋Ｐ(2)＋・・・＋Ｐ(r)
になります。
ここで、ｎとｒを固定すれば、Ｐ(≦ｒ)はｐの関数になります。それで、Ｐ(≦ｒ)の代わりにＰ(p)と表記することにします。すると、Ｐ(p)は右図の青線のようになります。これをＯＣ曲線（Operating Characteristic Curve：検査特性曲線）といいます。
すなわち、抜取検査では、左図の赤線のようにはならず、右図の青線のようになるので、簡単には判定できないのです。

生産者危険と消費者危険

このＯＣ曲線の意味を考えます。
ｐ＝０の付近でＰ(p)＝１に近くなるということは、ロットの不良率が０に近いときは、ロットによる検査が合格する確率が大きくなることを示しています。そして、曲線が右下がりになっていることは、ロットの不良率が大きいと合格する確率が小さくなる（不合格になる確率が高くなる）ことを示しています。これは直感から理解できるでしょう。

右図のβ（＝Ｐ(p)）は、ｐ＝ｐ₀のときに、このロットが合格する確率がβだということです。すなわち、本当はロットの不良率はｐ₀よりも大きいのに、合格にしてしまうことです。これは消費者（受け取り側）にとって不都合な判断で、この確率βのことを消費者危険といいます。
逆に、α（＝１－Ｐ(p)）は、本当はロットの不良率はｐ₀よりも小さく合格すべきなのに、不合格だと判定される確率になります。これを生産者危険といいます。
生産者危険αは、第１種の誤りともいいます。本当は合格なのにちょっとしたことにあわてて不合格にしてしまうことから「あわて者の危険」ともいいます（α＝Ａ＝アワテ者）。消費者危険βは、第２種の誤りともいいます。本当は不合格なのに誤りに気付かないで合格にすることなので「ぼんやり者の危険」、β＝Ｂ（ボンヤリ者）、α＝Ａ（アワテ者）とすれば覚えやすいですね。

抜取検査の方法

しかし、このような方法ですと、αを小さくしようとすればβが大きくなり、βを小さくしようとすればαが大きくなります。これでは、どちらかが不満を持つことになります。
それで、ｐ₀を与えるのではなく、先にαとβを決めておき、それから適切なｎやｒを決めることにします。
通常は、α＝０.０５、β＝０.１０とします。

すると左図のように、αに対するｐ₁とβに対するｐ₂の２つのｐが計算できます。そして、抜取検査の結果が、
　　ｐ₁より小のとき：合格とする
　　ｐ₂より大のとき：不合格とする
　　ｐ₁とｐ₂の間のとき：合格・不合格を決定しない
とするのです。決定しないのでは困りますから、さらにｎを大きくすることにより、さらに詳しく調べるとするのです。ｎを大きくすれば、右図のように全数検査に近づくので、合格・不合格の判定がしやすくなります。このような方法を多段階抜取調査といいます。
ｐ₁は、生産者がなるべくそのロットを合格とさせたい不良率の下限で、合格品質水準(acceptable quality level, ＡＱＬ)といいます。ｐ₂は、消費者がそのロットを不合格とさせたい不良率の上限で、限界品質(limiting quality, ＬＱ)といいます。

α　生産者危険　第１種危険　あわて者　　０.０５　ｐ₁　合格品質水準
β　消費者危険　第２種危険　ぼんやり者　０.０１　ｐ₂　限界品質

すなわち、抜取検査では、
　　α≧１－Ｐ(ｐ₁)　　∴Ｐ(ｐ₁)≦１－α
　　β≧Ｐ(ｐ₂)
となるｎとｒの組のうち、ｎが最小となるものを求めることになります。

数値例

例題

母不良率が５％以下のロットは合格させ、２０％以上のロットは不合格にしたい。そのとき、生産者危険を５％、消費者危険を１０％にするときの、標本の大きさと、合格とすべき不良品の個数を求めよ。

解答

ｐ₁＝０.０５、ｐ₂＝０.２、α＝０.０５、β＝０.１ですから、
　　Ｐ(0.05)≧０.９５
　　Ｐ(0.20)≦０.１
となるｎとｒを求めることになります。

やや厳密性を欠きますが、ｎ＝３０、ｒ＝３になります。

ＯＣ曲線

ｎ＝３０、ｒ＝３のときのＯＣ曲線は、次のようになります。