パレート分布

パレート分布の概念

右図の青字を見てください。パレートは、所得の高い人から順に並べて所得をプロットすると、赤線のようになり、富の８割は人口の２割によって支配されるという、８０：２０の法則，またはパレートの法則を提唱しました。
　このような分布は、経済現象、社会現象、自然現象などの様々な事例に当てはめられることが分かり、広範な研究領域に渡って広く用いられている確率分布です。

統計的な説明

黒字で説明します。赤線は、パラメタＡ（＞０）とＫ（＞０）を持つパレート分布の確率密度関数です。

確率変数Ｘのとりうる値の範囲は、Ａ≦Ｘです。
確率密度関数はｆ(Ｘ) ＝ＫＡ^K／Ｘ^K+1 です。
Ｘ＝Ａのとき、ｆ(Ａ) ＝Ｋ／Ａになります。Ｘ＝∞のとき、ｆ(∞) ＝０になります。
累積確率関数は、Ｆ(Ｘ) ＝１－(Ａ/Ｘ)^K になります。

パレート分布のグラフ

確率密度関数：ｆ(Ｘ) ＝ＫＡ^K／Ｘ^K+1、累積確率関数：Ｆ(Ｘ) ＝１－(Ａ/Ｘ)^K のパラメタＡとＫを変化させて図示したのが右図です。

確率密度関数について考察します。
　Ａは軸の目盛りの単位を示すものだといえます。所得の例でいえば、何人を一つのグループにしたかというようなイメージです。
　Ｋは傾きを示すものだといえます。Ｋが大になるにつれて傾きが大になります。所得でいえば貧富格差が大になります。

　Ａ・Ｋが定まったとき（１本の線）では、主に１／Ｘ^K+1 により値が小さくなります。累乗的な減少ですので、

確率密度関数の期待値：（Ｋ＞１のとき）ＫＡ／(Ｋ－１)、　分散：（Ｋ＞２のとき）ＫＡ²／((Ｋ－１)²(Ｋ－２))

一般化パレート分布（Generalized Pareto Distributions,ＧＰＤ）

パレート分布を拡張したものです。説明は省略しますが、次の式で与えられます。

　　　　　　　　　　　　１┌　　ξ(Ｘ－μ)┐^{－１－１／ξ}
確率密度関数：ｆ(Ｘ) ＝ ─│１＋─────│
　　　　　　　　　　　　σ└　　　　σ　　┘

　　　　　　　　　　　　　　　　　σ σ
　　　　期待値：（ξ＜１）　μ＋───　　　　分散：（ξ＜１／２）　─────────
　　　　　　　　　　　　　　　　１－ξ　　　　　　　　　　　　　　　(１－ξ)²(１－ξ)

　　　　　　　　　　　　　　┌　　ξ(Ｘ－μ)┐^１／ξ
累積分布関数：Ｆ(Ｘ) ＝１－│１＋─────│
　　　　　　　　　　　　　　└　　　　σ　　┘

確率密度関数に、σ＝Ａ／Ｋ、ξ＝１／ｋ、μ＝Ａを代入すると、ｆ(Ｘ) ＝ＫＡ^K／Ｘ^K+1 となりパレート分布に一致します。

このように、一般化パレート分布のパラメタを適当に指定することにより、指数分布やべき乗分布など多様な分布が得られます。逆にいえば、それらの分布を一つにまとめたのが一般化パレート分布なのです。