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ポアソン分布と指数分布

キーワード

確率分布、ポアソン分布、指数分布


数多くの部品のどれかが故障する、スーパーのレジに客がくるというような場合を考えます。1日、1分間などの単位時間にそれらの事象が起こる回数は、平均的にはわかっていますが、個々の故障や客がいつくるかはわかりません。たとえば、客の平均到着率が1時間に10人だと統計的にはわかっていても、15人の場合もあるし、5人の場合もあります。

ここで、次の仮定をします。この3つの仮定を満足するということは、客の来かたは「でたらめ」だということです。それをランダムだといいます。

独立性
ある事象が次に起こる確率は、これまでの経過に関係しない。
先に大勢来たから次はあまり来ないだろうということはないとします。
定常性
ある事象が起こる確率は、対象とする期間中は一定である。
スーパーなどでは、時間帯により客の数は異なりますが、検討対象とする時間の間では、変化しないと仮定します。
稀少性
微小時間内に、ある事象が2回以上起こることはない。
1時間という長さでは2人以上来るでしょうが、1分間、1秒間という微小時間でとらえれば、その間に2人以上来ることはないと仮定します。

ポアソン分布

単位時間中にある事象が発生する平均回数をλとするとき、単位時間中にその事象がx回発生する確率密度P(x)は、ポアソン分布に従う。
       λx
   P(x)=──e-λ   eは自然対数の底=2.718
       x!

例題
ある店では、1時間に平均5人の客が来る。客の来かたはランダムだとするとき、1時間に3人の客が来る確率を求めよ。
解答
λ=5[人/時間]、x=3[人/時間]を公式に代入する。
    λx      53      125
P(x)=──e-λ=──────e-5=───×0.006738
    x!    3×2×1     6
   =0.1404
解説
この公式の証明は、数学的に高度なので省略します。また、計算も面倒ですので、数表や表計算ソフトを用いることにします。
なお、ポアソン分布は、平均=λ、分散=λになります。平均=分散の関係があるのが特徴です。
Excelの関数
ポアソン分布の確率密度P(x)と累積確率∑P(x)を求める。
   POISSON(x,λ,FALSE/TRUE)   FALSE:P(x)、TRUE:∑P(x)
 例:POISSON(3,5,FALSE)=0.1404
   POISSON(3,5,TRUE)=0.2650
ポアソン分布のグラフ
発生頻度の平均λを変えて、発生頻度xとその確率P(x) のグラフを描くと右図のようになります。x=λのときに最大になりますが、λが小さいときは左寄りの山になり、λが大きくなると左右対称になり正規分布のようになります。
これは次のように解釈できます。1時間を単位にとれば、来客数は平均10人程度で、毎時間の来客数は10人のまわりに正規分布すると考えてもよいでしょう。ところが、1分単位にすれば、客は来るか来ないかのどちらかになり、2人以上来る確率は非常に低くなります、λ=1がそのような状況を示しているのだといえます。
このように、ある事象をとらえるには時間の単位が重要であり、それによって正規分布として考えるかポアソン分布として考えるのが適切かが変わってくるのです。

ポアソン分布の計算プログラム

λ=

指数分布

単位時間中にある事象が発生する平均回数をλとするとき、その事象の発生間隔がt単位時間である確率密度P(r)は、指数分布に従う。
   P(t)=λe-λt
0~tの累積確率は次式になる。
   P(≦t)=1-e-λt

例題
ある店では、1時間に平均5人の客が来る(客の平均到着間隔は12分である)。客の来かたはランダムだとするとき、客が来てから次の客が来るまでの間隔が15分以内である確率を求めよ。
解答
λ=5[人/時間]、t=0.25[時間]を公式に代入する。
P(≦0.25)==1-e-1.25=1-0.2865=0.7135
指数分布とポアソン分布の関係
ポアソン分布は、単位時間内に事象の起こる確率であり、指数分布は事象の起こる間隔です。同じ事象を逆の視点で見ていることになります。それで、指数分布の平均は1/λになります(分散は1/λではなく、1/λ2になり、平均=標準偏差になります)。
連続変数と確率密度
P(0.25)=5e-5*0.25=1.4325 を、「客の到着間隔が15分である確率」だとしてはいけません。確率は1以上になりませんし、「15分ピッタリ」に次の客がくる確率は0になると考えられます。高度な数学の概念が必要なので説明は省略しますが、この1.4325は確率密度で確率ではないのです。
「客の到着間隔が15分である確率」を知りたいのであれば、累積確率(これは確率です)P(≦t) を用いて、P(≦15.5分)-P(≦14.5分) のようにする必要があります。
ポアソン分布のときは、確率密度=確率のような説明をしましたが、この場合は客の人数(整数で連続量ではない)ので、このような問題にはならなかったのです。
Excel関数
指数分布で、tを与えて確率密度P(t)と累積確率P(≦t)を求める。
   EXPONDIST(t,λ,FALSE/TRUE)   FALSE:P(t)、TRUE:P(≦t)
 例:EXPONDIST(0.25,5,FALSE)=1.4325
   EXPONDIST(0.25,5,TRUE)=0.7135

指数分布の計算プログラム

λ=

待ち行列の理論

スーパーでのレジを考えます。客の到着は平均λ[人/時間]のポアソン分布に従い、レジでの所要時間は平均t[時間/人]の指数分布に従うとします(すなわち、客の到着もレジでの時間もランダムだということです)。
このとき、客が到着したときレジが開いている確率、行列の平均長さ、待っている時間などに関する理論を「待ち行列の理論」といい、OR(オペレーションズ・リサーチ)のポピュラーな分野になっています。
→参照「待ち行列の概要」(que-intro


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