生物の個体数、新製品の販売数、プログラムのバグ発見数など、当初は少なく、中途で大きくなり、その後また少なくなるような現象は多くあります。それを時間の推移と累積量をグラフにすると、下図のようになります。これを成長曲線といいます。
代表的な成長曲線に、ゴンペルツ曲線とロジスティック曲線があります。
両者とも、似たようなＳ字型の曲線で、時間ｘが経つにつれ、増加が止まり一定値Ｋに近づきます。ロジスティック曲線は変曲点を中心に左右対称になりますが、ゴンペルツ曲線は対称性がないのが大きな特徴です。
実際には、時間が負になるのは不適切ですが、ｔ＝ｘ＋ｔ0のような変換により、ｔ≧０としてこれらの曲線を利用します。
ゴンペルツ曲線（Gompertz curve）
ゴンペルツ曲線は、
・・・ゴンペルツ曲線の式
をグラフにしたものです。
この式は、
dy/dx ＝ Ａｙ×ｅ－Ｂｘ ・・・微分方程式
から得られたものです。
dy/dx は、ｙの増加率を示しています。すなわち、ｙの増加率は、
直前のｙに比例して増加する要因
時間ｘに伴い指数的に減少する要因
に関係することを表しています。
ゴンペルツ曲線は、このような性質をもった曲線です。
右図は、Ｋ＝１として、ｂとｃを変化させたものです。
ｘ→∞ のとき：ｅ－ｃｘ→０、ｂ0＝１、ｙ→Ｋ
ｘ＝０ のとき：ｅ－ｃｘ＝１、ｙ＝Ｋｂ
ｘ→－∞のとき：ｅ－ｃｘ→∞、ｙ→ｂ∞→０
（０＜ｂ＜１ であることが必要です）になります。
ｂ＝０.３、ｃ＝０.５のとき（赤線）のグラフでいえば、ｘ0（ｘ＝０）のとき、ｙ0＝Ｋｂ＝１×０.３＝０.３になっています。ｂはｙ0の値を決める要素であり、ｃは傾きの程度を示していることがわかります。
なお、ｙがαＫになるｘは、
＝ αＫ
より、次の式が得られます。
１ logｂ
ｘ＝──log(───)
ｃ logα
ここで、ｂ＝０.３、ｃ＝０.５のときに、いくつかのαを与えると、次のようになります。
１ －１.２０４ α＝０.５ ０.９ ０.９５ ０.９９
ｘ＝───log(──────) ｘ＝１.１０４ ４.８７２ ６.３１２ ９.５７２
０.５ logα
この曲線が、プログラムバグ発見数の累積だとすれば、９５％のバグが発見されるのはｘ＝６.３の時点であると予想されます。
ロジスティック曲線（Logistic curve）
ロジスティック曲線は、
・・・ロジスティック曲線の式
をグラフにしたものです。
生物は親から生まれるので、生物の個体数の増加率 dy/dt は直前の個体数ｙに比例すると考えられます。それで、
dy/dt ＝ ｒｙ
と表現できます。
しかし、現実には無限に増大することはありません。その限界値Ｋに近づくと増加率は低下するはずです。それを加味すると、
dy/dt＝ｒｙ(Ｋ－ｙ) ・・・微分方程式
となります。ロジスティック曲線の式は、このような関係から導き出されたのです。
生物成長の観点では、ｔ≧０であり、ｔ0（ｔ＝０）のときｙ＝０となりますが、ロジスティック曲線の式では、一般化するために、その条件を無視しています。それで、ｘ＝ｔ＋ｔ0とし、ｔ0＝－∞としています。すなわち、生物ははるか昔に発生したというかたちになっています。
ロジスティック曲線の式を検討します。
ｘ→∞ のとき：ｅ－ｃｘ→０、分母→１、ｙ→Ｋ
ｘ＝０ のとき：ｅ－ｃｘ＝１、分母＝１＋ｂ、ｙ＝Ｋ／(１＋ｂ)
ｘ→－∞のとき：ｅ－ｃｘ→∞、ｙ→０
になります。
また、微分方程式から、dy/dtが最大になる（増加率が最大になる）のは、ｙ*＝Ｋ／２のときです。ロジスティック曲線の式から、そのときのｘを求めると、
ｘ*＝ (logｂ－log２)／ｃ
となります。なお、ｙがαＫになるｘは、
＝ αＫ
より、次の式が得られます。
logｂ－log((１／α)－１)
ｘ＝────────────
ｃ
ここで、
α log((１／α)－１)
０.５ ０
０.９ －２.１９７
０.９５ －２.９４４
０.９９ －４.５９５
右図は、Ｋ＝１とし、ｂとｃを変化させてグラフにしたものです。ｂ＝３、ｃ＝１のグラフ（赤）についていえば、ｘ＝０のとき、ｙ0＝１／(１＋３）＝２.５になっています。また、増加率が最大になるのは、ｘ*＝ (log３－log２)／１＝１.０９８－０.６９３＝０.４０５、ｙ*＝１／２＝０.５になっています。
また、ｂによりｙ0が決まること、ｃにより傾きが変わることがわかります。
成長曲線へのあてはめ
測定したデータから、ゴンペルツ曲線やロジスティック曲線の式を求める、すなわち、Ｋ、ｂ、ｃを決定することを考えます。
どちらの式も非線形ですので、かなり高度な数学が必要となります。また、繰り返し言及しているように、現実のデータの期間はｔ≧０であるのにたいして、これらの式は、－∞＜ｘ＜∞の範囲です。それで、例えばｔ＝１ののデータをｘ＝－５、ｘ＝－１０のデータであるというようにずらす必要がありますが、それまでも自動的に（統計学的に）行おうとすると、さらに複雑な数学が必要になります。
それでここでは、かなり単純化した方法にします。そのため、「よく近似する」式にはならないことをお断りしておきます。よく近似する式が必要なときは、専門の統計パッケージを利用してください。
●データの時期の調整
ここでは、ｔ→ｘに関しては、過去データの散布図などにより、調整されているものとします。すなわち、実際には、ｔ＝０、１、・・・、ｎという時点で測定されたのですが、それを、ｘ＝－ｊ、－ｊ＋１、・・・、０，１、・・・、ｋ－１、ｋであるというように調整できたとします。
後述するように、そのずらしの範囲を与えて、いくつかのケースで計算するようにします。
●ゴンペルツでのｃの取扱い
ゴンペルツ曲線の式を適宜変形すると、
logｙ＝logＫ＋ｅ－ｃｘlogｂ
となります。
ここで、Ｙ＝logｙ、Ｐ＝logＫ、Ｑ＝logｂ、Ｘ＝ｅ－ｃｘとすれば、
Ｙ＝Ｐ＋ＱＸ
となるので、最小二乗法によりＰとＱを決定することができます。
そして、Ｋ＝ｅＰ、ｂ＝ｅＱの逆変換をすることから、Ｋとｂが求められます。
ところが、それには未知数であるｃを事前に与える必要があります。ｃに初期値を与えて逐次的に改善する方法があるのですが、かなり複雑になります。それで、現実離れしていますが、ここでは、
ｃの最小値と最大値を与えて、いくつかのｃの値を仮定して計算する。
ことにします。
●ロジスティックでのＫの取扱い
ロジスティック曲線を適宜変形すると、
log(Ｋ／ｙ－１)＝logｂ－ｃｘ
となります。
ここで、Ｙ＝log(Ｋ／ｙ－１)、Ｐ＝logｂ、（Ｑ＝－ｃ）
とすれば、
Ｙ＝Ｐ＋Ｑｘ
となるので、最小二乗法によりＰとＱを決定できます。
そして、ｂ＝ｅＰ、ｃ＝－Ｑの逆変換により、ｂとｃが求められます。
ところが、このＹには未知数であるＫが含まれています。既にｘが大で、Ｋに近いデータが存在するのであれば、Ｋを推定することができますが、実務的には、かなりｘが小さい時点でＫを知りたいことが目的の場合があります。ここでは、
Ｋの最小値と最大値を推測して与えることにより、それぞれのＫにおけるＢとｃを求める
ことにします。
●計算プログラム
すなわち、ここの計算プログラムは、
・ｔ→ｘの変換は利用者が既に行っている。
・一部のパラメータ（ゴンペルツではｃ、ロジスティックではＫ）の値を利用者が仮定する。
ことを前提にして、
・変換処理を行い、Ｙ＝Ｐ＋Ｑｘの形にして、
・最小二乗法によりＰとＱを計算し、
・逆変換処理により（先に仮定したものを加えて）、パラメータＫ、ｂ、ｃを求める
こととします。
しかし、ｔ→ｘ、ｃ、Ｋを１点で与えたのでは、近似式を得るまでの操作が大変なので、
・最小値と最大値の幅ときざみを与える
ことにより、いくつかのケースを連続的に行い、その結果により、利用者がより適切なパラメータの値を設定しやすいようにしました。
また、おまけ的ですが、
・入力値と計算値の誤差を出力する。
・α＝５０％、９０％などのｘを求める。
を行ないます。