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幾何　円形ビリヤード台

中心(0,0), 半径１の円形のビリヤード台があります。点Ａ(1,0) にある自分の青球を突いて、点Ｐ(x_g,y_g) にある相手の赤球に当てるには、どの角度θで打てばよいかという問題です。
　角度θで突くと、青球は、円縁で反射してＢ、Ｃ，Ｄ，… に進みます。このとき入射角と反射角はθになります。
　各点の中心からの角度はつねに同じでφになります。△ＢＯＣで考えると、∠ＯＢＣは直角－θ＝９０°θになるので、△ＢＯＣの内角の和ぁら、2(90-θ) + φ = 180 ∴ φ = 2θ になります。すなわち、Ｂ，Ｃ，Ｄの位置は角度 2nθ (n=1.2,3,…) の円周上にあり、その x,y の座標は x = cos(2nθ), y = sin(2nθ) になります。
　赤球に当たるとは、ＰＱの長さｒが小（ここでは 0.05 ）になることとします。