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物理　力学　斜面での落下

曲面をもつ斜面を落下する質点の動きを表示します。
　右図の斜面①～④に沿って、点Ａから球を放したとき、点Ｂに至るまでの位置を一定間隔で測定します。
　　　①　ｙ＝１－ｘ：　次第に速度が速くなる
　　　②　ｙ＝１－ｘ²：　最初は傾きが小さいので遅いが、後半は速くなる　　
　　　③　ｙ＝(ｘ－１)²：　最初の傾きが大きいので速い
　　　④　サイクロイド曲線：　最速到達曲線であることが証明されている

• 点Ｐ(x0,y0) の接線方向は y' = dy/dx です。接線方向の速度を v0 とします。
• 接点方向の加速度は a = -(1/2)mg sinθ ですが、θ = y'/√(1+y'²) の関係があります。
• 制約がなければ、dt秒後に、点Ｑ(x,y^*）に移動します。
  ＰＱの距離は、s = v0*dt + a*dt² = v0*dt - (1/2)mg* y'/√(1+y'²)*dt²
• s の水平方向は s/cosθ なので、 点Ｐのx座標は、x1 = x0 + s/cosθ = x0 + v0*√(1+y'²)*dt - (1/2)mg y'*dt² になります。
• ｙ座標は、y^* = y0 + v0/y'*√(1+y'²)*dt - (1/2)mg*dt² ですが、斜面の下にはならないので、球はＱ(x1,y1) になります。y1 = y(x1) で求められます。
• 点Ｑでの接線方向の速度は、v1 = √((1/2)mg(1-y1)) で与えられます。

簡単にするため、mg＝１としてまとめると、次の運動方程式が得られます。
　　　x1 = x0 + x0 + v0*√(1+y'²)*dt - (1/2) y'*dt²
　　　y1 = y(x0);
　　　v1 = √((1/2)(1-y1))
　初期値は、x0 = 0, y0 = y1; v0 = 0; y' = y'(0)