ご利用にあたって ｊｓファイル：http://www.kogures.com/hitoshi/javascript/library/queue.js
queue.js は、単純な待ち行列モデルでよく用いられる処理を JavaScript の関数ライブラリにまとめたものです。本ページは、その利用解説書です。
すべての関数の戻り値は連想配列形式になっています。次のような記述で戻り値を受け取ります。
var rtn = mm1(λ,μ);
var ρ = rtn["ρ"];
var P0 = rtn["P0"];
:
関数と戻り値の一覧を示します。
表中の〇は、戻り値が存在すること、Ｖは、その戻り値が通常のベクトル形式になっていることを示します。
↓関数 戻り値→ ρ P0 Pq L Lq W Wq Pn Cn Pqn Cqn Np Nqp Pt Pqt Ptg Pqtg Tg Tqg
Ｍ／Ｍ／１（∞）
mm1(λ,μ) 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
mm1n(λ,μ,n) 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ 〇 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
mm1nv(λ,μ) 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
mm1p(λ,μ,p) 〇 〇 〇 〇 〇 ・ ・ 〇 〇 ・ ・ 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・
mm1pv(λ,μ) 〇 〇 〇 〇 〇 ・ ・ Ｖ Ｖ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
mm1t(λ,μ,t) 〇 〇 〇 ・ ・ 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 〇 〇 〇 〇 ・ ・
mm1tv(λ,μ) 〇 〇 〇 ・ ・ 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ ・ ・
mm1pt(λ,μ,p) 〇 〇 〇 ・ ・ 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 〇 〇
mm1ptv(λ,μ) 〇 〇 〇 ・ ・ 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ Ｖ Ｖ
Ｍ／Ｍ／１（１）
mm11(λ,μ) 〇 〇 〇 〇 ・ 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
Ｍ／Ｍ／１（Ｓ）
mm1s(λ,μ,s) 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
mm1sn(λ,μ,s,n) 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
mm1snv(λ,μ,s) 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 Ｖ Ｖ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
Ｍ／Ｇ／１（∞）
md1(λ,μ) 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
me1(λ,μ,k) 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
me1kv(λ,μ) 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
Ｍ／Ｍ／Ｓ（∞）
mms(λ,μ,s) 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
mmsn(λ,μ,s,n) 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ 〇 ・ 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
mmsnv(λ,μ,s) 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
mmst(λ,μ,s,t) 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 〇 〇 ・ ・
mmstv(λ,μ,s) 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ Ｖ Ｖ ・ ・
mmsp(λ,μ,s,p) 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 〇 〇
mmspv(λ,μ,s) 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ Ｖ Ｖ
Ｍ／Ｍ／Ｓ（Ｓ）
mmss(λ,μ,s) 〇 〇 〇 〇 ・ 〇 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
mmssn(λ,μ,s,n) 〇 〇 〇 ・ ・ ・ ・ Ｖ Ｖ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
P ：密度確率、C ：累積確率、L ：平均人数、W ：平均時間、T ：個別時間
q ：待ち行列（サービスを受けるまで）。これがないときは系内（サービス中を含む）
g ：～以上
平均諸元
ρ： 稼働率 = λ/μ（窓口１のとき）、 λ/sμ（窓口ｓのとき）
P0： 系内人数が０人。窓口１のときは、窓口の空き確率＝待たずにサーブが受けられる確率
Pq： 待ちが生じる確率。系内に窓口数以上の人がいる確率
L： 平均系内人数
Lq： 平均待ち行列の長さ
W： 平均系内滞留時間
Wq： 平均待ち時間（サービスを受けるまでの時間）
人数と確率
Pn： 系内人数がｎ人の確率
Cn： 系内人数がｎ人以下の確率
Pqn： 待ち行列人数がｎ人の確率
Cqn： 待ち行列人数がｎ人以下の確率
Np： 確率 p で系内に Np 以下の人がいる。
Nqp： 確率 p で待ち行列に Nqp 以下の人がいる。
時間と確率
Pt： 系内滞留時間が t 時間になる確率
Pqt： サービスを受けるまでに t 時間待たされる確率
Ptg： 系内滞留時間が t 時間以上になる確率
Pqtg：サービスを受けるまでに t 時間以上待たされる確率
Tg： 割合 p の人の系内滞留時間が Tg 以上になる
Tqg： 割合 p の人のサービス待ち時間が Tqg 以上になる
その他（上表には掲載していない）
C: M/G/1 = 標準偏差/平均 サービス分布でのポラチェック・ヒンチンのＣ
A: M/G/1 = (1+C*C)/2 それによる補正係数
An： M/M/S = （sρ)^n / n! Pn = As*P0 系内人数ｎ（≦s）の係数
As： M/M/S = （sρ)^s / s! Pq = An*P0 窓口が塞がっている
Ｂ： M/M/S = A0 + A1 + … + As
上の表で関数名をクリックすると、該当関数の個所に移動します。大体、次のような構成になっています。 ・［コード表示]をクリックすると該当関数のコードが別ウインドウにポップアップします。 ・主要な戻り値の意味と簡単な算出根拠を掲げています。 ・FORM でデータ入力して、結果を表示するようになっています。 入力データの妥当性チェックはしていません。
説明（Ｗｅｂテキスト）：「待ち行列の基本形（Ｍ／Ｍ／１）」
λ：平均到着率（単位時間に来る平均客数） [人/時] １／λ：客の平均到着間隔 [時/人] μ：平均サービス率（単位時間に終了するサービス数） １/μ：平均サービス時間[時/人] ρ（稼働率）＝λ／μ は０＜ρ＜１ ∴ λ＜μ でなければなりません。 このチェックはしていないので、入力指定で注意してください。 窓口は１つ。 「系内」とは、到着してから去るまで、「待ち行列」とはサービスを受けるまでのことです。 到着した客はサービスを受けるまで、去ることなく、行列の最後に並びます。 Ｍ/Ｍ/１(∞) は、単にＭ/Ｍ/１といいます。最も基本的なモデルなので、多様な関数を作成しました。
λ,μを与えて、諸元を求めます。戻り値は連想配列になります。
rtn = mm1(λ,μ)
rtn["ρ"] = λ/μ (＜１）稼働率
rtn["P0"] = 1 - ρ 系内人数が０、待たないでサービスが受けられる確率
rtn["Pq"] = ρ 到着したとき待たされる確率
rtn["L"] = ρ/(1-ρ) 平均系内人数（サービス中を含む）
rtn["Lq"] = L*ρ 平均待ち行列人数
rtn["W"] = L/λ 平均系内時間（到着してから去るまでの全時間）
rtn["Wq"] = W*ρ 平均待ち時間（サービスを受けるまでの時間）
Pn： 系内人数がｎ人の確率 Pn = (1-ρ) * ρn
Cn： 系内人数がｎ人以下の確率 Cn = P0 + P1 + … + Pn = 1 - ρn+1
Pqn： 待ち行列人数がｎ人の確率 mm1nv() の説明参照
Cqn： 待ち行列人数がｎ人以下の確率
以下の戻り値はベクトルになります。
Pn[n]： 系内人数がｎ人の確率 Pn = (1-ρ) * ρn
Cn[n]： 系内人数がｎ人以下の確率 Cn = P0 + P1 + … + Pn = 1 - ρn+1
Pqn[n]： 待ち行列人数がｎ人の確率
Cqn[n]： 待ち行列人数がｎ人以下の確率
待ち人数がｎ人とは、系内の人ｎ＋１人いるということです。
Pqn[0] = Pn[0] + Pn[1] 誰もいない＋１人がサービス中
Pqn[1] = Pn[2] １人がサービス中で１人が待っている
:
Pqn[n] = Pn[n+1] １人がサービス中でｎ人が待っている
実行結果を見ると、n=0 以外では、Pqn, Cqn は Pn, Cn と１行ずれていることがわかります。
戻り値
Np： 確率 p で系内に Np 以下の人がいる。
Nqp： 確率 p で待ち行列に Nqp 以下の人がいる。
mm1n() の逆計算です。実行結果は
「ｐ＝９０％の確率で、系内人数は Np = ７人以下、待っている人は Nqp = ６人以下である」
ことを示しています。
Np の計算
mm1n() での Pn = (1-ρ) * ρn を変形すると n = log(1-Pn)/log(ρ) - 1 になります。
ここでは、p = Pn、Np = n としているので、Np = log(1-p)/log(ρ) - 1 となります。
ただし、p は待つ確率 Pq より小のときは、系内の人数は０なので Np = 0 となります。
Nqp の計算
mm1n() で示したように、待っている人数は系内人数からサービスを受けている人を引けばよいので、
Nqp = Nq - 1 になりますが、これも系内人数が２以上であることが前提になります。
P0 + P1 = (1-ρ) + ρ(1-ρ) = 1-ρ2 より p が小なら、Nqp = 0 になります。
実行例を見ると、mm1p() の説明の通り、Tqp[i] = Tp[i] -1 になっています。 p = 90% では 系内人数は Np = ７人以下、待っている人は Nqp = ６人以下なのは mm1p() と同じです。 p が小さくなるとは、対象となる人が小さくなるのは当然です。 ｐの値は不等間隔になっています。それで P[i], Tp[i], Tqp[i] のようにベクトルになります。
Pt： 系内滞留時間が t 時間になる確率
Pqt： サービスを受けるまでに t 時間待たされる確率
Ptg： 系内滞留時間が t 時間以上になる確率
Pqtg：サービスを受けるまでに t 時間以上待たされる確率
Pqtg については、有名な公式があります。
Pqtg = ρe-(1-ρ)μt
Pqt は、Pqtg を t で微分して求められます（Pqtg が右下がりなので符号を反転）
Pqt = ρ/μ(1-ρ) * ρe-(1-ρ)μt = ρ/μ(1-ρ) * Pqtg
系内滞留時間は、サービス時間 = 1/μ だけ余計に時間がかかるのですから、
Pqtg での t と Ptg が t-1/μ のときが同じになるので、上式で t-1/μ とすればよいのです。
t がサービス時間より小なことは起こりえないので０になります。
実行例
待ち時間が 2 である確率が 0.5 ％ 待ち時間が 2 以上である確率が 1.11 ％
系内時間が 2 である確率が 0.８％ 系内時間が 2 以上である確率が 1.16 ％
系内時間の確率のほうが大きいのは、直感的にも理解できましょう。
t[i]： 時間
Pt[i]： 系内滞留時間が t 時間になる確率
Pqt[i]： サービスを受けるまでに t 時間待たされる確率
Ptg[i]： 系内滞留時間が t 時間以上になる確率
Pqtg[i]：サービスを受けるまでに t 時間以上待たされる確率
Tg： 割合 p の人の系内滞留時間が Tg 以上になる
Tqg： 割合 p の人のサービス待ち時間が Tqg 以上になる
mm1t() での公式 Pqtg = ρe-(1-ρ)μt を変形して、t = log(ρ/Pqtg) /μ(1-ρ)
t を Tqg、Pqtg を p として、Tqg = log(ρ/p) /μ(1-ρ) となります。
Tg = Tqg + 1/μ になります。
ただし p > ρ の場合は 確率＞稼働率 なので、系内に誰もいなくても成立するので、Tg, Tqg = 0 になります、
説明（Ｗｅｂテキスト）：「行列に制限がある場合の待ち行列（Ｍ／Ｍ／１(Ｎ)）」
窓口が塞がっていたら、待たずに去ります。
電話をかけたらお話中あるいは輻輳している状況です。
待ち行列が生じないので、次の諸元しかありません。
サービスが受けられる確率 P0 = 1/(1+ρ) (MM1のP0と同じ）
窓口が塞がっている確率 P1 = 1 - P0
サービスを受けている時間 W = 1/μ
説明（Ｗｅｂテキスト）：「行列に制限がある場合の待ち行列（Ｍ／Ｍ／１(s)）」
系内の人数がs人に制限される状態です。 待合室にs－１人しか入れず、満員なら去るモデルです。
ρ = λ/μ 稼働率 到着したとき待たされる確率
P0 = (1-ρ)/(1-ρs+1) 系内人数が０、待たないでサービスが受けられる確率
Pq = P0*ρs 棄却率。系内人数がｓ人である確率。客はそのまま去る
L = 0P0 + 1P1 + 2P2 + … + sPs｝ 平均系内人数
= {（1-(s+1)ρs＋sρs+1）／(1-ρs+1）｝*｛ρ/(1-ρ)
Lq = 1P2 +2P3 + … + sPs｝ 平均待ち行列人数
= {（1-sρs-1＋(s-1)ρs)／(1-ρs+1）｝*｛ρ2／(1-ρ)
W = L/λ(1－Pq) 平均系内時間（到着してから去るまでの全時間）
Wq = Lq/λ(1－Pq) 平均待ち時間（サービスを受けるまでの時間）
P0 = (1-ρ)/(1-ρs+1) 系内人数が０、待たないでサービスが受けられる確率
Pn = P0 * ρn 系内に ｎ 人いる確率
Cn = P0 * (1-ρn+1)/(1-ρ) 系内の人数が ｎ 以下の確率
P0 = (1-ρ)/(1-ρs+1) 系内人数が０、待たないでサービスが受けられる確率
Pn = P0 * ρn 系内に ｎ 人いる確率
Cn = P0 * (1-ρn+1)/(1-ρ) 系内の人数が ｎ 以下の確率
参照（Ｗｅｂテキスト）：一般分布での待ち行列（Ｇ／Ｇ／１型）
Ｍ／Ｍ／１(∞) の拡張として、サービス時間が指数分布以外の場合を取り扱います。
Ｍ／Ｄ／１ サービス時間が一定
平均は １／μ，標準偏差は ０
Ｍ／Ｅｋ／１ サービス時間が位相ｋのアーラン分布
アーラン分布は、位相ｋ＝１なら指数分布、Ｋ＝∞なら一様分布になる分布です。
平均は １／μ，標準偏差は １／μ√ｋ
平均待ち時間
M/M/1(∞) の平均待ち時間は Wq = ρ２／λ(１－ρ) でしたが、
ポラチェック・ヒンチンの公式により C = 標準偏差/平均 とすれば
A = (1+C2)/2 として、
Wq = ρ２／λ(１－ρ) * A で求められます。
平均 標準偏差 C A = (1+C2)/2
M/M/1 1/μ 1/μ 1 1
M/D/1 1/μ 0 0 1/2
M/k/1 1/μ 1/μ√ｋ 1/√ｋ (1+k)/2k
他の平均諸元、
Wq がわかれば，リトルの公式により，W，Lq，Lを求めることができます。
W＝Wq + 1/μ， Lq＝λWq， L＝λW
k = 1, 2, 3, 4, 5, 10, 100 で計算します。
k=1 のときは指数分布 mm1()
k→大のときは一様分布 md1()
と一致します。
参照（Ｗｅｂテキスト）：複数窓口での待ち行列（Ｍ／Ｍ／ｓ）
銀行のＡＴＭのように、多数の窓口があり、客は全体に１列に並び、どこかの窓口が開くと、そこでサービスを受けて系内から去るというモデルです。ここでは、どの窓口も同じサービス率だとします。
ここで、窓口数をｓとし、稼働率ρは ρ＝λ/ｓμ と定義します。
Ｍ／Ｍ／ｓ(∞) では、かなり複雑な式になります。
ρ＝ρ＝λ/ｓμ
Ａn＝（ｓρ)n/n!
Ｂ＝Ａ0 + Ａ1 + … + Ａs
とすると，
P0 = 1/{Ｂ＋Ａsρ/(1-ρ)} 系内人数０の確率
Pn = Ａn * P0 (0≦ｎ＜ｓ） 系内人数ｎの確率
= Ａs * ρn-s * P0 (s＜n)
Ps = As * P0 系内人数ｓ
Pq = Ps + Ps+1 + Ps+2 + … n >= s の確率 待つ確率
= 1/(1-ρ) * As * P0 = Ps/(1-ρ)
Lq = 1Ps+1 + 2qPs+2 + 3Ps+3 + … 平均待ち行列の長さ
= ρ/(1-ρ)2 * Ａs * P0
Pqtg = Pq * e-(1-ρ)sμt 待ち時間がｔ以上になる確率
Ptg = Pq * e-(1-ρ)sμ(t-1/μ) 系内滞留時間がｔ以上になる確率
となり、Lq がわかれば
L = Lq + ｓρ、Wq = Lq/λ、 W = Wq + 1/μ
でこれらの値も計算できます。
rtn = mms(λ,μ, s)
rtn["ρ"] 全体の稼働率 ＝λ/ｓμ
rtn["P0"] 系内人数が０
rtn["Ps"] 系内人数がｓ
rtn["Pq"] n > s の確率 待つ確率
rtn["L"] 平均系内人数（サービスを含む）
rtn["Lq"] 平均待ち行列長さ
rtn["W"] 平均系内時間
rtn["Wq"] 平均待ち時間
補助変数
rtn["As"] = （sρ)s / s! Pq = As * P0
rtn["B"] = A0 + A1 + … + As P0 = 1/{Ｂ＋Ａsρ/(1-ρ)}
P0 = 1/{Ｂ＋Ａsρ/(1-ρ)} 系内人数０の確率
Pn = Ａn * P0 (0≦ｎ＜ｓ） 系内人数ｎの確率
= Ａs * ρn-s * P0
Pqn = Pn(n+1) = ρ*Pn (s＜n) = 0 (0≦ｎ＜ｓ） 待ち行列人数ｎの確率
Ps = As * P0 系内人数ｓ
Pq = 1/(1-ρ) * As * P0 = Ps/(1-ρ) n >= s の確率 待つ確率
補助変数
As = s! Pq = As * P0
B = A0 + A1 + … + As P0 = 1/{Ｂ＋Ａsρ/(1-ρ)}
Pqn と Pn の関係
Pqn[n] - Pn[n+1] = Ａs * ρn-s+1 * P0 = ρ*Pn
ここでは、処理効率の理由により Pn の累積 Cn は計算していません。
次の mmsnv() で Cn[n] として計算されます。
Pn[n] 系内人数がｎ人の確率 n=1/ρ 付近で最大になります
Cn[n] 系内人数がｎ人以下の確率
Pqn[n] 待ち人数がｎ人の確率 n≦s では０
Cqn[n] 待ち人数がｎ人以下の確率
補助変数
An = （sρ)n / s! Pq = As * P0
As = （sρ)s/ s! Pq = As * P0
B = A0 + A1 + … + As P0 = 1/{Ｂ＋Ａsρ/(1-ρ)}
Pqtg 待ち時間が t 時間以上の確率（公式 Pqtg = Ps * Math.exp(-(1-ρ)*s*μ*t) ）
Ptg 系内時間が t 時間以上の確率（上式で t を t-1/μ にする。t≦1/μ なら Ptg=1）
t[i] 時間
Pqtg[i] 待ち時間が t[i] 時間以上の確率（公式 Pqtg = Ps * e-(1-ρ)sμt ）
Ptg[i] 系内時間が t[i] 時間以上の確率（上式で t を t-1/μ にする。t≦1/μ なら Ptg=1）
Tg： 割合 p の人の系内滞留時間が Tg 以上になる
Tqg： 割合 p の人のサービス待ち時間が Tqg 以上になる
mmst() の逆関数
Pq：待つ確率
Pqtg = Ps * e-(1-ρ)sμt → t = log(Pq/Pqtg) /(1-ρ)sμ
Ptg = Ps * e-(1-ρ)sμ(t-1/μ) → t = log(Pq/Ps) /(1-ρ)sμ + 1/μ
ここでの記号に書換え
Tqg = log(Pq/p) /(1-ρ)sμ
Tg = log(Pq/p) /(1-ρ)sμ + 1/μ = Tqg + 1/μ
p ≧ Ps のときは常に成立するので人数は０になる
実例で、p=0.1 のとき Tg = 0.797, Tqg=0.287 とは
確率１０％で系内人数は0.797人以下、待ち人数は0.287人以下
逆にいえば、
９０％の確率で、系内人数は0.797人以上、待ち人数は0.287人以上
になります。
参照（Ｗｅｂテキスト）：複数窓口での待ち行列（Ｍ／Ｍ／ｓ）
ｓ個の窓口がすべて塞がっていれば、待たないで去る場合です。場外では待てない駐車場で、満車ならば他の駐車場を探すなどで去るようなケースです。このときは、サービス時間は駐車時間です。
Ｍ／Ｍ／ｓ(s) では、待ち行列が生じないので、簡単になります。
ρ＝ρ＝λ/ｓμ、 Ａn＝（ｓρ)n/n!、 Ｂ＝Ａ0 + Ａ1 + … + Ａs
とすると，
P0 = 1/Ｂ 系内人数（サービス中の窓口数）が０人の確率
Pn = An * P0 系内人数がｎ人（ｎ≦ｓ）の確率
Pq = As * P0 ｎ＝ｓでの確率 すべての窓口が塞がっておりサービスが受けられない棄損率
L = B * P0 平均系内人数
W = 1/μ 平均系内時間
補助変数
As = （sρ)^n / n! Pq = As * P0
B = A0 + A1 + … + As P0 = 1/Ｂ
rtn = mmss(λ,μ, s)
rtn["ρ"] 全体の稼働率 ＝λ/ｓμ
rtn["P0"] 系内人数が０
rtn["Pq"] 系内人数がｓ サービスが受けられない確率
rtn["L"] 平均系内人数（サービスしている窓口）
rtn["W"] 平均系内時間 ＝１/μ
補助変数
rtn["As"]
rtn["B"]
Pn 系列人数がｎ人である確率
Pn 系列人数がｎ人である確率
Cn 系列人数がｎ人以下である確率