データの内部表現（数値・上級）

シフト演算

シフト演算とは、２進数の計算を高速にする演算方法です。
　例えば、８ビットの２進数
　　　　０００１　００１０　（＝１６＋２＝１８）
を左に１ビットシフトすると（右端には０を詰める）、
　　　　００１０　０１００　（＝３２＋４＝３６）
になります。これは２^１倍したことになります。
　同様に、左に２ビットシフトすれば、２^２＝４倍になります。

右に１ビットシフトすると（左端には０を詰める）、
　　　　００００　１００１　（８＋１＝９）
となり、２^－１＝１／２倍したことになります。

これを組み合わせることにより、
　　「元の数Ａを左に１ビットした数に、Ａを左に２ビットシフトした数を加える」
と、２Ａ＋４Ａ＝６Ａ の計算をしたことになります。

上の２進数を右に４ビットシフトすると、
　　　　０００１　００１０
　　　→００１０　００００
　また、右に２ビットシフトすると
　　　　０００１　００１０
　　　→００００　１０００
となり、赤のビットが消えてしまい、正確な値になりません。
　これをオーバーフロー、アンダーフローといいます。

小数点以下の変換

２進数→１０進数：０.１１０１_２→０.８１２５_１０

右のような表を作成すれば，簡単に計算できます。
練習問題：２進数０.００１１→１０進数？

１０進数→２進数：０.８１２５_１０→０.１１０１_２

１０進数から，０.５（＝１／２），０.２５（＝１／４），０.１２５（＝１／８），・・・，を負にならないように引いていき，０にすることができれば変換できます。

　たとえば０.８１２５は，
　　　０.８１２５＝０.５　　　　（＝１／２　→　０.１_２）
　　　　 　　　　＋０.２５　　　（＝１／４　→　０.０１_２）
　　　　 　　　　＋０.０６３５　（＝１／１６→　０.０００１_２）
ですから，０.１＋０.０１＋０.０００１＝０.１１０１_２となります。

しかし，これよりも次の手順（右図）のほうが簡単でしょう。

1. １０進数を２倍する。整数部分を繰り上がり欄に書き，計算結果の整数部分を０にする。
2. 整数部分を０にした計算結果を新しい１０進数として計算結果が０になるまで，「１」を繰り返す。
3. 計算結果が０になったら，右図のように上から下へ書き下したものが求める２進数である。

練習問題：１０進数０.１８７５→２進数？

〇注意：２進数にできない１０進小数がある！

一般的には，上のように２進数に変換できる１０進小数はむしろ稀なのです。たとえば１０進数の０.１を２進数にしようとすると，
　　　　０.１_１０＝０.０００１１００１１００１１００１１・・・_２
のように循環小数になってしまいます。
　コンピュータでの１語のビット数は有限ですから，どこかで打ち切られてしまいます。これを丸め誤差といいますが，１０進小数をコンピュータで取扱うときには，あくまでも近似値であり正確な値にはならないのです。

１６進数と２進数の変換

１６進数と２進数の変換は，１０進数をなかがちにして変換することもできますが，２ ^４＝１６であることを利用すると，たとえば
　　　１１０１０１１１０１０_２
　　＝１１０_２×２^８＋１０１１_２×２^４＋１０１０_２
　　＝６_１６×１６^２＋Ｂ_１６×１６^１＋Ａ_１６
　　＝６ＢＡ_１６
とすることができます。
　また，小数点以下の数では，
　　　０.１１０１０１_２
　　＝０.１１０１０１００_２
　　＝１１０１_２×２^－４＋０１００_２×２^－８
　　＝Ｄ_１６×１６^－１＋４_１６×１６^－２
　　＝０.Ｄ４_１６
となります。

　すなわち，２進数を１６進数に変換するには，小数点を基準に４個ずつに区切り（右側で４個にならないときは０を入れる），その区切りごとに２進数を１６進数にすればよいことがわかります。逆に，１６進数を２進数に変換するには，１６進数の各数を４桁の２進数にすればよいことになります。
練習問題：１６進数６ＢＡ→８進数？

補数

コンピュータでは，演算回路を簡素化するために，加算回路はあるのですが減算回路は持たず，Ａ－Ｂの減算をＡ＋（－Ｂ）として加算にするのです。では，（－Ｂ）をどのように表現するのでしょうか？
　話を簡単にするために，１語を８ビットとします。１０進法の５は２進法では０００００１０１になります。唐突ですがそれに１１１１１０１１を加えると右上図のように結果は０になります。これから，２進数の１１１１１０１１を１０進数の－５であるとすればよいことになります。そのために，８ビット（１語）の先頭ビットが０ならば正数，１ならば負数であるというように決めるのです。このように決めた体系を２の補数表現といいます。０００００１０１の補数は１１１１１０１１であり，１１１１０１１の補数は０００００１０１です。
　補数の求め方は簡単で右下図のように「０／１反転，＋１」の操作を行えばよいのです。
　以下，［１語８ビットで２の補数体系の２進数］の例をいくつか示します。これから，この体系で表現できる値の範囲は，－１２８～０～１２７であることがわかります。
　　　００００００００　　　　　０
　　　０００００００１　　　　　１
　　　０１１１１１１１　　　１２７
　　　１０００００００　　－１２８
　　　１００００００１　　－１２７
　　　１１１１１１１１　　　　－１
練習問題：１バイト２の補数での２進数１１１１０１１１→１０進数？ 　

浮動小数点数

固定小数点型では，取扱える数値が限定されますし，非常に大きな数や小さい数を取扱うことができませんので，科学技術計算などでは困ります。このような数値を表現するには，浮動小数点型を用います。

　　　　　　　　　　固定小数点数　　浮動小数点数
　　　　用途　　　　事務処理計算　　科学技術計算
　　　　値の精度　　正確な値　　　　近似値
　　　　小数点　　　一般には整数値　小数点あり（実数）
　　　　大小範囲　　比較的狭い　　　非常に広い

例えば、－６４０を－１.２５×２^９ のように、s・f×r^eという形式で表現します。ここで、s（－）を符号、f（１.２５）を仮数，r（２）を基数、ｅ（９）を指数といいます。すなわち、「±仮数×基数^指数」で表現します。

浮動小数点数型の表示

ＩＥＥＥ７５４（１語３２ビット）では、浮動小数点数の表現方法を次のように規定しています。
　符号は、正のとき０負のとき１とします。
　－６４０は、－１.２５×２^９ は－２.５×２^８ や－０.６２５×^１０ など、多様に表現できますが、仮数を１.Ｍのように整数部分を１になるように調整することを正規化といいます。そして、Ｍ（０.２５）の部分を２進数にしたものを仮数部に入れます。正規化を行うのは、仮数部（２３ビット）での有効桁数を大きくするためです。
　また、０.００１＝１.０２４×２^－１０ のように、絶対値が小さい数では指数が負になります。それで、２^０のときＥ＝１２７、２^１のときＥ＝１２８、２^－２のときＥ＝１２５などとなるように、元の指数に１２７を加えたＥを２進数にしたものを指数部（８ビット）に入れます。この操作をバイアスといいます。
　すなわち、－１.２５×２^９ を浮動小数点表示すると、次のようになります。
　　　Ｓ　Ｅ（指数部、８ビット）　Ｍ（仮数部、２３ビット）
　　　1 　　　　010001000　　　　　　0100 … 0000
　　（－）　（9＋127＝136）　　　　（1.25－1＝0.25）

例題

次のＩＥＥＥ７５４の３２ビットの浮動小数点型数は、１０進数ではいくつになるか。
　　　符号　指数部（８ビット）　仮数部（２３ビット）
　　　　0 　　　1000 0110　　　　0010 0000 … 0000

解答
符号が０→正数
指数部＝1000 0110₂＝１３４₁₀＝１２７＋７→２^７
仮数部＝0010 0000 … 0000₂＝２^－３＝０.１２５
これに整数部の１を加えて、１.１２５
答　１.１２５×２^７＝１４０.６２５

浮動小数点数の有効桁数

１０進数の小数点数は、２進数では循環小数になる場合があります。仮数部のビット数は有限ですから、切られてしまいます。それによる誤差を丸め誤差といいます。
　仮数部が２３ビットであり、整数部の１ビットを加えると２４ビットになります。２^２４≒１０^７ なので、１０進数での有効桁数は７桁になります（２進表示の桁数Ｂと１０進表示の桁数Ｄの間には、
　　　２^Ｂ＝１０^Ｄ　→　Ｄ＝Ｂ×log₁₀２ となります。log₁₀２≒０.３ですから、２４桁の２進数は１０進数では２４×０.３≒７桁になります）。
　また、浮動小数点数の計算では、多様な誤差が発生し、有効桁数は小さくなります。高精度が求められる場合には、１語を６４ビットとする倍精度浮動小数点型を用います。

オーバーフローとアンダーフロー

指数部での最大値は1111 1111₂＝２５６₁₀、最小値は0000 0000₂＝０₁₀です。バイアスを戻すと１２９、－１２８です。すなわち、絶対値が２^１２９ より大きいときはオーバーフロー、絶対値が２^－１２８ より小さい（０を除く）ときはアンダーフローとなり表現できないのです。倍精度浮動小数点型では指数部のビット数が大きいので、さらに大きい数や小さい数が表現できます。