データの内部表現（数値・上級）

小数点以下の変換

２進数→１０進数：０.１１０１_２→０.８１２５_１０

右のような表を作成すれば，簡単に計算できます。
練習問題：２進数０.００１１→１０進数？

１０進数→２進数：０.８１２５_１０→０.１１０１_２

１０進数から，０.５（＝１／２），０.２５（＝１／４），０.１２５（＝１／８），・・・，を負にならないように引いていき，０にすることができれば変換できます。

　たとえば０.８１２５は，
　　　０.８１２５＝０.５　　　　（＝１／２　→　０.１２）
　　　　 　　　　＋０.２５　　　（＝１／４　→　０.０１２）
　　　　 　　　　＋０.０６３５　（＝１／１６→　０.０００１２）
ですから，０.１＋０.０１＋０.０００１＝０.１１０１２となります。

しかし，これよりも次の手順（右図）のほうが簡単でしょう。

1. １０進数を２倍する。整数部分を繰り上がり欄に書き，計算結果の整数部分を０にする。
2. 整数部分を０にした計算結果を新しい１０進数として計算結果が０になるまで，「１」を繰り返す。
3. 計算結果が０になったら，右図のように上から下へ書き下したものが求める２進数である。

練習問題：１０進数０.１８７５→２進数？

〇注意：２進数にできない１０進小数がある！

一般的には，上のように２進数に変換できる１０進小数はむしろ稀なのです。たとえば１０進数の０.１を２進数にしようとすると，
　　　　０.１_１０＝０.０００１１００１１００１１００１１・・・_２
のように循環小数になってしまいます。
　コンピュータでの１語のビット数は有限ですから，どこかで打ち切られてしまいます。これを丸め誤差といいますが，１０進小数をコンピュータで取扱うときには，あくまでも近似値であり正確な値にはならないのです。

１６進数と２進数の変換

１６進数と２進数の変換は，１０進数をなかがちにして変換することもできますが，２ ^４＝１６であることを利用すると，たとえば
　　　１１０１０１１１０１０_２
　　＝１１０_２×２^８＋１０１１_２×２^４＋１０１０_２
　　＝６_１６×１６^２＋Ｂ_１６×１６^１＋Ａ_１６
　　＝６ＢＡ_１６
とすることができます。
　また，小数点以下の数では，
　　　０.１１０１０１_２
　　＝０.１１０１０１００_２
　　＝１１０１_２×２^－４＋０１００_２×２^－８
　　＝Ｄ_１６×１６^－１＋４_１６×１６^－２
　　＝０.Ｄ４_１６
となります。

　すなわち，２進数を１６進数に変換するには，小数点を基準に４個ずつに区切り（右側で４個にならないときは０を入れる），その区切りごとに２進数を１６進数にすればよいことがわかります。逆に，１６進数を２進数に変換するには，１６進数の各数を４桁の２進数にすればよいことになります。
練習問題：１６進数６ＢＡ→８進数？

補数

コンピュータでは，演算回路を簡素化するために，加算回路はあるのですが減算回路は持たず，Ａ－Ｂの減算をＡ＋（－Ｂ）として加算にするのです。では，（－Ｂ）をどのように表現するのでしょうか？
　話を簡単にするために，１語を８ビットとします。１０進法の５は２進法では０００００１０１になります。唐突ですがそれに１１１１１０１１を加えると右上図のように結果は０になります。これから，２進数の１１１１１０１１を１０進数の－５であるとすればよいことになります。そのために，８ビット（１語）の先頭ビットが０ならば正数，１ならば負数であるというように決めるのです。このように決めた体系を２の補数表現といいます。０００００１０１の補数は１１１１１０１１であり，１１１１０１１の補数は０００００１０１です。
　補数の求め方は簡単で右下図のように「０／１反転，＋１」の操作を行えばよいのです。
　以下，［１語８ビットで２の補数体系の２進数］の例をいくつか示します。これから，この体系で表現できる値の範囲は，－１２８～０～１２７であることがわかります。
　　　００００００００　　　　　０
　　　０００００００１　　　　　１
　　　０１１１１１１１　　　１２７
　　　１０００００００　　－１２８
　　　１００００００１　　－１２７
　　　１１１１１１１１　　　　－１
練習問題：１バイト２の補数での２進数１１１１０１１１→１０進数？ 　

浮動小数点数

固定小数点型では，取扱える数値が限定されますし，非常に大きな数や小さい数を取扱うことができませんので，科学技術計算などでは困ります。このような数値を表現するには，浮動小数点型を用います。
　浮動小数点型では，０.６０２２×１０^２４のように，数値をＲ＝Ｍ×Ｂ^Ｅという形式で表現します。ここでＭを仮数，Ｂを底，Ｅを指数といいます。内部表現では，Ｍは０～１の１６進数，Ｍは１６，Ｅは１６進数にした値に６４を加えるなど，面倒な変換が必要になりますが，それを右図のような形式で表現します。
　この場合は，０００００００のときは－６４ですので１０^－７７，１１１１１１１のときは６３で１０^７６となるので，浮動小数点型で取扱える数は，
　　－１０^７６～－１０^－７７，０，１０^－７７～１０^７６
の範囲になります。絶対値が１０^７６を超えるとオーバーフロー，絶対値が１０^－７７より小さいとアンダーフローとなり，取扱うことができません。
　また（後述のように），１０進小数点数を２進数に変換すると丸め誤差を生じます。２進数の２４桁は１０進数の７桁程度ですので，有効数字は７桁程度になります。たとえば，３.１４１５９２６５３５などの値を入力しても，コンピュータ内部ではそれを正確に受け取ることはできないのです☆。