目的関数
Ｚ＝３ｘ１＋２ｘ２ → 最大
制約条件
４ｘ１＋１ｘ２≦７２
２ｘ１＋２ｘ２≦４８
１ｘ１＋３ｘ２≦４８
ｘ１≧０，ｘ２≧０
この問題を図式解法およびシンプレックス法により解くと次のようになりました。
シャドウ・プライス
下段の目的関数の行では，λ１が０.３３，λ２が０.８３でプラスになっています。これは，λ１を１だけ作ると目的関数が０.３３だけ「減少」することを示しています。λ１を１作るということは，４ｘ１＋１ｘ２＋１λ１＝７２においてλ１＝１として，４ｘ１＋１ｘ２＋＝７１としたことに一致します。
これをグラフで見ると，青色の太線４ｘ１＋１ｘ２＋＝７２のときは，最適解はＰ点であり，目的関数は赤の太線でした。それが，４ｘ１＋１ｘ２＋＝７１になると青色の点線になるので，最適解はＱに移動して，目的関数は赤の点線になります。この赤の太線が点線に移動したときの目的関数の値の減少が０.３３なのです。
さらに物理的な意味では，λ１の在庫が１だけ少ないと０.３３だけ利益が減少することであり，逆にいえば，λ１の価格が０.３３よりも安ければ購入しｘ１やｘ２を増産したほうがよいということです。それでこの０.３３をλ１のシャドウ・プライス（Shadow Price：潜在価格、レデュースドコスト（Redused Cost）ともいう）といいます。
それに対してλ３は目的関数の値が０です。これは在庫が減っても増えても利益には関係しないことを示しています。それは最適解がλ３＝８であり，この制約条件に余裕があることと一致します。ですから，λ３のシャドウ・プライスは０になります。
このシャドウ・プライスの概念は，会計学での限界費用に似た概念であり，制約条件の余裕の有無により価値が変化するという，非常に重要な概念なのです。
定数項の変化とレンジ
やや高度な数学になるので解説をあえて省略しますが，上の単体表の上段の表での制約式・スラック変数の部分の行列をＡとすると，下段のその部分はＡの逆行列であるＡ－１に相当します。そして，Ａ－１に上段の列をＢとしてＡ－１・Ｂの行列乗算を行うと，下段の対応する列になるのです。たとえばＢを上段の定数項とすると，下段の定数項Ｂ’は次のように計算できます。
Ａ－１ Ｂ Ｂ’
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ ０.３３ －０.１７ ０│×│７２│＝│ 0.33*72-0.17*48+0*48│＝│１６│
│－０.３３ ０.６７ ０│ │４８│ │-0.33*72+0.67*48+0*48│ │ ８│ ①
│ ０.６７ －１.８３ １│ │４８│ │ 0.67*72-1.83*48+1*48│ │ ８│
└ ┘ └ ┘ └ ┘ └ ┘
また，上段のλ１の定数項７２を（７２＋ε）とすると，上の行列計算により下段の定数項が求められます。これは，λ１が ε だけ増加すると，ｘ１は０.３３ε， ｘ２は－０.３３ε，λ３は０.６７ε だけ変化することを変化を示します。
┌ ┐
│１６＋０.３３ε│
│ ８－０.３３ε│
│ ８＋０.６７ε│
└ ┘
ここで，定数項≧０の条件から各々を０とする値を求めると－１２≦ε≦２４となります。これはλ１の制約式の定数項がこの範囲まで変化しても，最適値は下の計算で求められることを示しています。このε の範囲をλ１のレンジ（範囲）といいます。すなわち，この定数項７２が６０から９６まで変化しても最適解の構造は変化しない（基底にある変数の出入りはない）ことになります。
これをグラフで説明すると，下図のようになります。当初の４ｘ１＋１ｘ２＝７２は青色の太線ですので，最適値はＰ点でした。ε がマイナス方向に進むと，最適値は直線ＰＲにそって移動します。Ｒ点に達してそれを超えると，いままで余裕のあった１ｘ１＋３ｘ２≦４８がネックになり，下段の単体表が最適解ではなくなってしまいます。逆に ε をプラス側に増大すると，最適解は直線ＰＳにそって移動し，Ｓ点を超えると青線に余裕ができてしまいます。そして，Ｒ点のときの定数項が６０，Ｓ点のときが９６なのです。
シャドウ・プライスの確認
目的関数の値も次のようにして計算できます。
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│０.３３ －０.８３ ０│×│７２│＝│６４│
└ ┘ │４８│ └ ┘
│４８│
└ ┘
すなわち，０.３３×７２＋０.８３×４８＋０×４８＝６４。
ここで７２を７２＋ε とすると，目的関数の値は ６４＋０.３３ε となります。これはλ１のレジューストコストが０.３３であることと同じことをいっています。
価格（目的関数の係数）の変化とレンジ
ｘ１の価格が ε だけ増加すると，最適解のときは次式が成立しています。
下段のｘ１の行： １ｘ１＋０.３３λ１－０.１６７λ２＝１６
ここでｘ１の価格がεだけ増加した（－３-ε にした）とき，この式を金額の増加で表示すれば，
１εｘ１＋０.３３３ελ１－０.１６７ελ２＝１６ε
ですから，下段の目的関数の列のλ１の値，すなわちλ１のシャドウ・プライスは０.３３３ε だけ増加して，０.３３３＋０.３３３ε になります。同様にλ２のシャドウ・プライスは ０.８３３－０.１６７ε になります。これらがマイナスになると，さらに最適解の計算をする必要がありますので，これらが０になる ε を求めると，－１≦ε≦５になります。－３－ε の範囲は－２～－８，すなわちｘ１の価格のレンジは２～８になります。
これをグラフで示すと，ｘ１の価格をあげていくと，目的関数 ３ｘ１＋２ｘ２ の傾きは次第に垂直方向に変化していき，４ｘ１＋１ｘ２＝７２ と重なるようになります。そのときの目的関数のｘ１の係数は８になります。逆に価格を下げていけば，２ｘ１＋２ｘ２≦４８ と重なりますが，そのときの係数の値は２になります。
同様にｘ２の価格がε変化すると，λ１のシャドウ・プライスは，０.３３３－０.３３３ε，λ２は０.８３３＋０.６６７ε となり，そのレンジは－１.２５≦ε≦１であり，ｘ２の価格は０.７５～３となります。
感度分析
このように最適解を利用してシャドウ・プライスやレンジを検討することを感度分析といいます。これを行うことにより，次のメリットがあります。
- 定数項や価格の変化があるとき，新たに計算し直さなくても最適解の変化を容易に得ることができます。
- 多くの要素のレンジの幅は大きいときは，この解が安定しているので，安心してこの解を用いることができます。逆にレンジ幅が極端に小さいと，ちょっとした違いにより，最適解が大きく変化することもあるので，この解を用いることに危険が伴います。
- モデル作成において，定数項，価格，係数などを精密に把握するのは困難であったり，調査をするのに費用がかかったりします。おおよその値を用いて計算して，そのレンジを調べることにより，逆にその値をどの程度の精度で把握すればよいかがわかります。
理解度チェック
第１問
目的関数
Ｚ＝４ｘ１＋３ｘ２ →最大
制約条件
２ｘ１＋１ｘ２≦３０ （ａ）
３ｘ１＋４ｘ２≦６０ （ｂ）
１ｘ１＋２ｘ２≦２６ （ｃ）
この解は次のようになります（グラフでは，ｘ１をｘ，ｘ２をｙとしています。
- この３つの制約条件で余裕のある条件はどれか。
☆
「グラフが最適値Ｐを通らない」，「基底にλ３がある」ことから，１ｘ１＋２ｘ２≦２６（ｃ）に余裕があることがわかる。
- 制約条件：２ｘ１＋１ｘ２≦３０での３０が３０＋ε（ε は微小量）に増加すると，目的関数の値はどうなるか。
☆
最適解の表におけるλ１のシャドウ・プライスが１.４ε であるから６６＋１.４ε になる。
- 制約条件：２ｘ１＋１ｘ２≦３０＋εとしたとき、εを変化させても、すべての制約条件の結果（余裕がある、余裕がないの状態）が変化しない範囲を示せ。
☆
グラフから，最小値は２ｘ１＋１ｘ２が点Ｑ(８,９) を通るときである。このときの定数項は２×８＋１×９＝２５になる。また最大値は点(２０,０) を通るときで４０となる。
シンプレックス法から求めるには，この定数項がε 増加したときは，最適解の表のλ１の列から，次のような操作により，ε の範囲が－５≦ε≦１０であることがわかる。変更前 εの変化 εのとり得る範囲
１２ ０.８ε －１５≦ε
６ －０.６ε ε≦１０
２ ０.４ε －５≦ε - ここでは、ｘ１の価格は４としたが，最適値が変化しない範囲でどの値までとることができるか。
☆
４ｘ１＋３ｘ２のグラフは，この４が小さくなるにつれて傾きが水平に近づく。最適解が変わるのはこれが３ｘ１＋４ｘ２＝６０のグラフの傾きと一致したときであるから，そのときの４は３×３／４＝２.２５となる。逆に増加したときは２ｘ１＋１ｘ２と一致するときであるから，最大値は６となる。
シンプレックス法から求めるには，最適解のｘ１の行は，
１ｘ１＋０.８λ１－０.２λ２＝１２
であり，ε 変化したときのλ１とλ２のシャドウ・プライスは次のようになる。変更前 εの変化 εのとり得る範囲 ４＋ε
１.４ ０.８ε －１.７５≦ε ４－１.７５＝２.２５
０.４ －０.２ε ε≦２ ４＋２＝６