待ち行列の概要

待ち行列で用いる記号

待ち行列では，次の記号をよく用います。
　　λ（ラムダ）：客の平均到着率［人/時］⇔１/λ：客の平均到着間隔［時/人］
　　μ（ミュー）：一つの窓口の平均サービス率［人/時］⇔１/μ：窓口の平均サービス時間［時/人］
　　ｓ：窓口の個数
　　ρ（ロー）＝λ／(ｓμ)　　　　窓口が１個のときは ρ＝λ／μ
　　Ｐ₀：サービス中を含む（「系の中」という）客数が０である確率
　　　　　（窓口が１個のときは，待たずにサービスが受けられる確率）
　　Ｐ_n：系の中の客数がｎ人である確率
　　Ｌ：系の中にいる客の平均人数［人］＝１Ｐ₁＋２Ｐ₂＋３Ｐ₃＋・・・＋ｎＰ_n
　　Ｌ_q：サービスを待っている人の平均人数［人］＝１Ｐ_ｓ＋１＋２Ｐ_ｓ＋２＋３Ｐ_ｓ＋３＋・・・＋(ｎ－ｓ)Ｐ_n
　　Ｗ：系の中（到着してからサービスを受けて去るまで）の平均時間［時］
　　Ｗ_q：到着してからサービスを受けるまでの平均待ち時間［時］

Ｍ／Ｍ／１（∞）での公式

次の公式を覚えておくことが大切です。
　　Ｐ₀＝１－ρ
　　Ｐ_ｎ＝ρ^ｎＰ₀＝ρ^ｎ(１－ρ)
　　Ｌ＝ρ／(１－ρ)
　　Ｌ_q＝ρ²／(１－ρ)
　　Ｗ＝Ｌ／λ＝１／(μ－λ)
　　Ｗ_q＝Ｌ_q／λ＝λ／(μ(μ－λ))

問題

１台のレジがある。客の到着が１時間あたり平均１２人であり，レジでの所要時間は平均３分であるとき，次の値を求めよ。
　１　到着したとき，すぐにサービスが受けられる確率
　２　系の中にいる人の平均人数
　３　サービスを待っている人の平均人数
　４　到着してからサービスを受けて去るまでの平均時間
　５　到着してからサービスを受けるまでの平均待ち時間

解答

客の到着が１時間あたり平均１２人→λ＝１２／６０＝１／５［人/時］
レジでの所要時間は平均３分→μ＝１／３［人/時］
　　ρ＝λ／μ＝（１/５）／（１/３）＝３／５＝０.６
１　Ｐ₀＝１－ρ＝１－０.６＝０.４
２　Ｌ＝ρ／(１－ρ)＝０.６／(１－０.６)＝１.５［人］
３　Ｌ_q＝Ｌρ＝１.５×０.６＝０.９［人］
４　Ｗ＝Ｌ／λ＝１.５×５＝７.５［分］
５　Ｗ_q＝Ｗρ＝７.５×０.６＝４.５［分］